Problemas de calculo vectorial-32

Vista previa del material en texto

94 Capı́tulo 3 Optimización94 Capı́tulo 3 Optimización94 Capı́tulo 3 Optimización
Puesto que el conjunto {x2 + y2 = 1} es un compacto en R2,
entonces la función alcanzará máximo y mı́nimo absolutos en él.
Evaluando la función en los puntos obtenidos se tiene que P1, P2
son máximos, y P3, P4 mı́nimos.
(c) El polinomio que buscamos es precisamente el polinomio de Taylor
de grado dos de f en el punto (1, 1), que además es el único que
satisface la condición requerida. Teniendo en cuenta los cálculos
para las derivadas primera y segunda que hemos realizado en el
apartado primero, se obtiene
fx(1, 1) = −1, fy(1, 1) = −1,
fxx(1, 1) = 2, fyy(1, 1) = 2 fxy(1, 1) = 1.
Por tanto
P (x, y) = x2 + y2 + xy − 4x− 4y − 1.
510 Dada la función f : R3 −→ R definida por f(x, y, z) = x2 + y2 − z, hallar
los puntos cŕıticos de f en el conjunto
E = {(x, y, z) ∈ R3 : x
2
4
+
y2
4
+
z2
9
≤ 1},
y clasificarlos.
Solución 510:
Tenemos dos posibilidades que explorar: o bien buscamos los puntos
cŕıticos de f sin restricciones que además pertenezcan a E; o bien los
extremos se encuentran entre los puntos cŕıticos de f bajo la restricción
de igualdad. Estas dos posibilidades corresponden a los sistemas
2x = 2y = −1 = 0, x
2
4
+
y2
4
+
z2
9
≤ 1,
y
2x+ λ
x
2
= 0, 2y + λ
y
2
= 0,
−1 + λ2z
9
= 0,
x2
4
+
y2
4
+
z2
9
= 1,
respectivamente. Evidentemente, la primera posibilidad es incompatible
de suerte que no aporta ningún candidato. Para la segunda, y tras
factorizar x e y en la primera y segunda ecuación respectivamente,
llegamos a las dos posibilidades:
(i) x = y = 0: en este caso de la restricción de igualdad obtenemos
z = ±3;
3.2 Extremos condicionados 95
(ii) λ = −4: de la tercera ecuación encontramos z = − 98 , y de la
restricción
x2 + y2 = 5516 .
Todos estos puntos son cŕıticos.
Examinamos a continuación los valores de la función f en todos estos
candidatos para encontrar
f(0, 0, 3) = −3, f(0, 0,−3) = 3,
y
f(x, y,− 98 ) = 7316 si x2 + y2 = 5516 .
Por tanto el mı́nimo se encuentra en (0, 0, 3) y el máximo se alcanza en
todos los puntos de la circunferencia
x2 + y2 = 5516 , z = − 98 .