Problemas de calculo vectorial-33

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FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES: INTEGRACIÓN
MÚLTIPLE
Caṕıtulo
4
Los ejercicios de este tema están dedicados al cálculo integral de funciones
de varias variables, centrándonos en el estudio de integrales dobles y triples.
La dificultad real de los ejercicios expuestos aqúı estriba fundamentalmente en
la correcta descripción de las regiones de integración, tanto en el plano, como
en el espacio. Para ayudarnos en esta tarea hemos tratado de representar
gráficamente la mayoŕıa de los ejercicios resueltos de manera que el lector
pueda visualizar las descripciones. No obstante, la labor de realizar bocetos de
regiones en el plano y el espacio no es tarea sencilla y necesita de una buena
dosis de experiencia, por lo que recomendamos efusivamente que el lector
trate de dibujar por śı mismo las gráficas mostradas. En la última sección
proponemos resolver las integrales mediante cambios de variables, prestando
especial atención al uso de coordenadas polares, ciĺındricas y esféricas.
4 1
INTEGRALES DOBLES
� Calcular las integrales siguientes:
511
∫ 2
1
∫ 3
0
(x+ y) dx dy.
512
∫ π
2
0
∫ 2
0
r2 cos θ dr dθ.
513
∫ 1
−1
∫ 1
0
yex dy dx.
514
∫ 1
−1
∫ 3
0
y5exy
3
dx dy.
515
∫ π
2
0
∫ e
1
sen y
x
dx dy.
516
∫
[0,1]2
(ax+ by + c) dA.
Solución:
515 La integración interior respecto a x tratando a la variable y como
si fuera una constante nos da∫ e
1
sen y
x
dx = sen y log x|e1 = sen y,
98 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple98 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple98 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
y, ahora la integración respecto a y proporciona el valor de la
integral doble solicitada∫ π
2
0
sen y dy = − cos y|
π
2
0 = 1.
516 Como la región es [0, 1]× [0, 1], la integral que nos piden será∫ 1
0
∫ 1
0
(ax+ by + c) dx dy.
Integrando en primer lugar respecto a x, obtenemos∫ 1
0
(
a
2
+ by + c
)
dy.
Y esta integración respecto a y arroja el valor
a
2
+
b
2
+ c,
que es el valor de la integral solicitada.
517 Probar que
ĺım
n→∞
∫ 1
0
∫ 1
0
xnyn dx dy = 0.
Solución 517:
La integración iterada proporciona∫ 1
0
∫ 1
0
xnyn dx dy =
∫ 1
0
yn
xn+1
n+ 1
∣∣∣∣1
0
dy
=
1
n+ 1
∫ 1
0
yn dy =
1
n+ 1
yn+1
n+ 1
∣∣∣∣1
0
=
1
(n+ 1)2
;
Tomando ĺımite se obtiene el resultado esperado.
� Calcular las siguientes integrales dobles:
518
∫ 1
0
∫ x
x2
xy2 dy dx.
519
∫ 1
0
∫ √x
x
(y + y3) dy dx.
4.1 Integrales dobles 99
520
∫ 1
−1
∫ |x|
−2|x|
ex+y dy dx.
521
∫ π
2
0
∫ cos x
0
y senx dy dx.
522
∫ π
0
∫ 3 sen x
sen x
x(1 + y) dy dx.
523
∫ 2
0
∫ 3√4−x2
2
−3
√
4−x2
2
(
5√
2 + x
+ y3
)
dy dx.
524
∫ 1
0
∫ x3
0
e
y
x dy dx.
525
∫ 1
0
∫ x
x4
(y − x) dy dx.
Solución:
520 La integral interior es∫ |x|
−2|x|
ex+y dy = ex+y
∣∣|x|
−2|x| = e
x+|x| − ex−2|x|.
La segunda integral iterada es ahora∫ 1
−1
(
ex+|x| − ex−2|x|
)
dx.
Para calcular esta integral debemos desglosarla en dos integrales
para poder tratar el valor absoluto. Si llamamos I a la integral
solicitada entonces
I =
∫ 0
−1
(
ex+|x| − ex−2|x|
)
dx+
∫ 1
0
(
ex+|x| − ex−2|x|
)
dx.
Ahora bien, en la primera integral |x| = −x pues x es negativo, y
en consecuencia∫ 0
−1
(
ex+|x| − ex−2|x|
)
dx =
∫ 0
−1
(
1− e3x
)
dx
= 1− 1
3
e3x
∣∣∣∣0
−1
=
2
3
+
1
3
e−3.
Por otro lado, cuando x es positivo |x| = x, y aśı∫ 1
0
(
ex+|x| − ex−2|x|
)
dx =
∫ 1
0
(
e2x − e−x
)
dx
	Funciones de varias variables: Integración Múltiple
	Integrales dobles