PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-18

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B 42- Se dan tres rectas coplanarias OX, OY y OZ. En el ángulo YOZ se han trazado dos transversales
AB y CD que se cortan en E (A y C están sobre OY; B y D sobre OZ). Por los puntos A, C, B y D,
se levantan perpendiculares a OY. Las correspondientes a A y C, cortan a OX en A′ y C ′. Las
correspondientes a B y D, cortan a OY, en B′ y D ′. Las rectas A′B′ y C ′D ′, se cortan en M.
Demostrar que la recta que une M con E es perpendicular a OY.
Solución:
X
O Y
Z
A
B
F
M
D
A’
B’ D’
C’
C
E
X
O Y
Z
A
B
F
M
D
A’
B’ D’
C’
C
E
Los triángulos C ′DC y A′AB son homológicos, ya que sus lados se cortan en puntos de la misma
recta EF. Como AA′ es paralela a CC ′ y perpendicular a OY, el eje de homología ha de ser EF,
perpendicular a OY y paralela a AA′ y CC ′. El eje de homología de C ′D ′D y A′B′B es MF, paralela
a DD ′ y BB′, y perpendicular a OY. Luego EF y MF son perpendiculares trazadas desde el punto F
a una misma recta, por lo que ambas rectas coinciden en una sola recta MEF, perpendicular a OY.
B 43- Sobre una recta ilimitada XY, se mueve un segmento MN de longitud constante. Se dan dos
puntos fijos A y B, fuera de la recta. Se trazan AM y BN, que se cortan en C. Estudiar las
variaciones del ángulo ACB.
Solución:
B
X Y
A
M N
C
B
X Y
A
M N
C
Desplazando el segmento MN desde el infinito (a la izquierda del dibujo), el ángulo C va
aumentando desde el valor nulo hasta un cierto valor máximo, a partir del cual vuelve a disminuir,
hasta anularse en el infinito (a la derecha del dibujo). El valor máximo se produce cuando el
triángulo MCN es isósceles, es decir cuando la abscisa de C coincide con la del punto medio de
MN.
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B 44- Se dan tres puntos alineados A, B y C, y otros tres puntos A′, B′ y C ′ sobre una segunda recta.
Las rectas BC ′ y CB′ se cortan en a, las rectas CA′ y AC ′ en b, las rectas AB′ y A′B en c. Demostrar
que a, b y c están alineados.
Solución:
N
A
B
C
A’
B’
C’
M’
O
a
b
c
d
e
N
A
B
C
A’
B’
C’
M’
O
a
b
c
d
e
La recta abc recibe el nombre de eje de colineación, y solo depende de la proyectividad y no del
par de puntos elegidos como vértices de los haces. El punto de intersección O de las dos rectas
puede considerarse como de las dos bases, en un caso el punto homólogo es N y en el otro caso es
M ′. Luego el eje de colineación pasa por los puntos original e imagen del punto O, común a las dos
bases, por lo que es fijo Tomando como centros de proyección los puntos B y B′, los rayos BC ′ y
B′C se cortan sobre el eje de colineación, por lo que a, b y c están alineados. Otra demostración es
la siguiente: Se proyecta desde C ′ la cuaterna A′ABC y se corta por CA′ y por CB′, obteniéndose
respectivamente A′beC y B′daC. Proyectando la primera desde A, y la segunda desde B, se
tienen los haces B, A′beC y A, B′daC que tienen la misma razón doble y un rayo homólogo
común (BC y AC), luego los otros pares de rayos homólogos se cortan en puntos alineados. Los
puntos de corte son c, b y a.
B 45- Sobre la base BC de un triángulo ABC, se toma un punto cualquiera M, y se trazan las paralelas
MB′ y MC ′ a los lados AB y AC respectivamente, estando B′ y C ′ sobre dichos lados. La recta que
une A con P, punto de intersección de las cevianas BB′ y CC ′, corta a BC en M ′. Hallar el valor de
la expresión M
′B
M ′C
 MCMB .
Solución:
A
B M’ M C
C’
B’
P
A
B M’ M C
C’
B’
P
Considerando las cevianas AM ′, BB′ y CC ′, se tiene: M
′B
M ′C
 B
′C
B′A
 C
′A
C ′B
 −1. Por construcción
B′C
B′A
 MCMB , y
C ′A
C ′B
 MCMB . Luego
M ′B
M ′C
 −MB
2
MC2
. Por tanto M
′B
M ′C
 MCMB 
−MB
MC
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B 46- Demostrar que en todo triángulo la suma de los cuadrados de las distancias del centro del
círculo circunscrito a los centros de los cuatro círculos inscrito y exinscritos, vale doce veces el
cuadrado del radio del círculo circunscrito.
Solución:
A
B
T
V
C
O
I
P
Q
Ia
M
A
B
T
V
C
O
I
P
Q
Ia
M
Sea ABC el triángulo de perímetro 2p  a  b  c; sea O el centro del círculo circunscrito de radio
R  OA  OB  OC; sea I el centro del círculo inscrito de radio r  IP  IT; sea Ia el centro del
círculo exinscrito en el ángulo A, de radio ra  QM  IaV; sea M la intersección de BC con OQ; y
sean d  IO, BT  p − b, MC  a2 , BV  p − c y da  OIa.
Son fórmulas usuales: R  abc
4 pp − ap − bp − c
 abc4S , siendo S el área del triángulo;
r  Sp 
abc
4pR ; S  pp − ap − bp − c ; ra 
S
p − a .
En el triángulo IOP, se tiene: d2  IO2  a2 − p  b
2
 r − R2 − a
2
4
2
 R2 − 2rR.
En el triángulo IaOQ, se tiene: da2  IaO2  p − c − a2
2
 ra  R2 − a
2
4
2
 R2  2raR.
Luego,
d2  da2  db2  dc2  4R2  2Rra  rb  rc − r  4R2  2RS 1p 
1
p − a 
1
p − b 
1
p − c 
 4R2  2RS abc
S2
 4R2  8R2  12R2.
B 47- Se consideran los centros Oa, Ob y Oc de las circunferencias exinscritas en el triángulo ABC.
Demostrar que las perpendiculares bajadas desde dichos centros sobre los lados BC, AC y AB,
respectivamente, concurren, y que este punto de concurrencia es colineal con el incentro y el
circuncentro. Hallar la relación de distancias existentes entre estos tres puntos.
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