PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-4

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A 9- Por un punto fijo M se traza una secante que corta a un círculo fijo O en los puntos P y P′. Se
lleva a partir de M y sobre MPP′, una distancia MN igual a la semisuma de MP y MP′. Hallar el
lugar geométrico de N cuando varía la secante.
Solución:
O
B
M
P
AP’
N
Q
O
B
M
P
AP’
N
Q
MN  MP  MP
′
2  MP 
PP′
2 . Luego N es el punto medio de PP
′, por lo que el ángulo
MNO es recto, y N está en el arco capaz de 90º sobre OM. El lugar pedido es el arco AB de la
circunferencia de centro Q, punto medio de MO, y radio MO2 .
A 10- Se da una circunferencia O y una cuerda AB. Haciendo centro en un punto C del arco AB, se
traza una circunferencia tangente a la cuerda AB y se trazan las tangentes a esta circunferencia
desde A y B, que se cortan en M. Hallar el lugar geométrico de M cuando C describe el arco
AB.
Solución:
M
A
B
O
C
M
A
B
O
C
El ángulo ACB es constante. Como MAC  CAB y MBC  CBA, el ángulo AMB es constante
pues mide 2C − . El lugar pedido es el arco capaz de 2C − , trazado sobre AB.
A 11- Se dan tres puntos alineados A, B y C. Se trazan las perpendiculares en B y C a la recta ABC.
Una recta variable r corta a las perpendiculares en M y M′, de manera que AM  2AM′. Se
proyecta A sobre r en H. Hallar el lugar geométrico de H.
Solución:
A G
E
B FC
r
M
D
M’
H
A G
E
B FC
r
M
D
M’
H
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Trazando la bisectriz interior AD del ángulo MAM ′, se tiene que DM
DM ′
 AM
AM ′
 2, luego D
se desplaza a lo largo de la recta DF, paralela a MB y M′C, siendo FB  2FC. Análogamente,
siendo AE la bisectriz exterior de MAM ′, se tiene EM
EM ′
 AM
AM ′
 2, desplazándose E a lo
largo de la recta EG, paralela a DF, siendo GB  2GC. El haz A, MM′DE, cortado por MM′
da la relación MM′DE  −22  −1. Proyectando MM′DE desde la dirección perpendicular
a ABC, se tiene el haz ,BCFG, que cortado por ABC da la relación BCFG  −1. Por tanto,
proyectado desde H, las rectas HF y HG son las bisectrices del triángulo BHC. Luego el ángulo
FHG es recto, por lo que el lugar de H es una circunferencia de diámetro FG.
A 12- Se da un círculo O y un diámetro fijo AB. Sobre un radio variable OC se lleva OI  CD,
siendo D el pie de la perpendicular trazada desde C sobre el diámetro AB. Hallar el lugar
geométrico de I, cuando varía el radio OC.
Solución:
A
O
M
N
E
I
C
B
D
F
A
O
M
N
E
I
C
B
D
F
Los triángulos OIE y OCD son iguales (OE  OC, OI  CD, y el ángulo EOI igual al OCD).
Luego el ángulo OIE es recto por serlo el ODC. Por ello, el lugar geométrico de I es el conjunto
de dos circunferencias iguales, tangentes exteriores en O, de radio igual a la mitad del radio de
la circunferencia dada, y cuyos centros son M y N, puntos medios de OE y OF, siendo EF el
diámetro perpendicular a AB.
A 13- Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cortan ortogonalmente a
dos circunferencias dadas.
Solución:
O
T’’
O’’
r
O’
T’
O
T’’
O’’
r
O’
T’
Sean las circunferencias dadas O ′ y O ′′ de radios r ′ y r ′′, y sea O un punto del lugar. La
circunferencia O corta en T ′ a la circunferencia O ′, y en T ′′ a la O ′′. Siendo O ′T ′ perpendicular
a OT ′, y O ′′T ′′ a OT ′′, y como OT ′  OT ′′  R, radio de la circunferencia O, se tiene que
OO ′2  R2  r ′2 y OO ′′2  R2  r ′′2, es decir que OO ′2 − OO ′′2  r ′2 − r ′′2, que es constante.
Luego el lugar pedido es una recta perpendicular a O ′O ′′, eje radical de las circunferencias
dadas.
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A 14- Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cortan a otras dos dadas
según diámetros.
Solución:
A B
O’
B’A’
O
MA B
O’
B’A’
O
M
Sean las circunferencias dadas O y O ′, de radios r y r ′. Siendo M un punto del lugar, se tiene:
AM2  OM2  r2  MB2  O ′M2  r ′2. Por tanto OM2 − O ′M2  r ′2 − r2 que es constante.
Luego el lugar es una recta perpendicular a OO ′. Esta recta es simétrica del eje radical con
relación al punto medio de OO ′.
A 15- Hallar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos inscritos en un triángulo dado.
Solución:
B
P
A
Q
CSMJHR
K
I
O
B
P
A
Q
CSMJHR
K
I
O
Sea el rectángulo PQRS inscrito en el triángulo dado ABC, estando su base RS sobre el lado
BC, y siendo O su centro. La altura del triángulo sobre el lado BC es AH, siendo K su punto
medio; AM es la mediana sobre dicho lado; IOJ es la altura del rectángulo que pasa por O. En
el triángulo AHM, el punto O se encuentra sobre la recta MK que une los puntos medios del
lado BC y de la altura AH. El lugar pedido consta de tres rectas que unen los puntos medios de
cada lado del triángulo con los puntos medios de sus respectivas alturas.
A 16- En una circunferencia dada O, se traza una cuerda fija AB y otra variable AC. Sobre estas
cuerdas se construye el paralelogramo ABCD. Hallar los lugares geométricos del centro M del
paralelogramo y de su vértice D.
Solución:
O’’
D C
B
OO’
A
MO’’
D C
B
OO’
A
M
M es el punto medio de la cuerda AC, por lo que el ángulo AMO es recto. En consecuencia, el
lugar de M es la circunferencia de centro O ′, punto medio de AO, y diámetro AO. Siendo
BD  2BM, el lugar geométrico de D es la circunferencia O ′′, homotética de la O ′, siendo B el
centro de homotecia y la razón 2.
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