PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-68

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G 3- Calcular el área de la estrella formada por arcos de un cuadrante, trazados haciendo centro en los
vértices de un cuadrado de lado a.
Solución:
A B
D E
C
A B
D E
C
BEC  30º. Área del sector EBC  a
230º
360º 
a2
6 . Área del rectángulo ABDE 
a2
2 .
Área del triángulo CDE  12 
a
2  a sin60º 
a2 3
8 .
Área del triángulo mixtilíneo ABC  a
2
2 −
a2
12 −
a2 3
8 
a2 12 − 2 − 3 3
24 .
Área de la estrella  a2 − 8 
a2 12 − 2 − 3 3
24 
a2
3 2  3 3 − 9 .
G 4- Sobre los lados de un exágono regular de lado a, se construyen cuadrados exteriores cuyos
vértices se unen mediante arcos de radio a con centro en los vértices del exágono dado. Hallar el
área de la figura resultante, en función de a.
Solución:
A
B
CO
D
E
F
A
B
CO
D
E
F
En la figura se ha representado el cuadrante superior derecho. Los vértices del exágono son A y C.
Sobre AC se ha construido el cuadrado ACFE, cuyo vértice E se ha unido al vértice D mediante el
arco DE de centro A y radio AE  a. El área pedida corresponde a seis veces el área de
OADEFCO  6SOAC  SADE  SACFE.
Como SOAC  12 a
a 3
2 
a2 3
4 , SADE 
a260º
360º 
a2
6 y SACEF  a
2, el área pedida es
6a2 34 

6  1 
a2
2 3 3  2  12 .
G 5- Hallar el área de un triángulo rectángulo, conociendo el radio del círculo inscrito r  1, y la
hipotenusa a  5.
Solución:
A
D
B E C
F
A
D
B E C
F
Se tiene que BD  BE  1, AD  AF  x, CF  CE  5 − x. Luego x  12  6 − x2  25. De
donde x1  2, x2  3. El área pedida es 4  32  6.
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G 6- Se da un cuadrado de lado a y se unen los puntos medios de cada lado con los vértices del lado opuesto,
formando estas rectas al cortarse, un octógono convexo cuya área se pide.
Solución:
O A
B
C
O A
B
C
El octógono está formado por ocho triángulos OAB. Se tiene OA  a4 , AOB  45º, tanOAB 
OC
OA  2,
sinOAB  2
5
, sinOBA  sin 180º − 45º − OAB  sin 135º − OAB  3
10
. En el triángulo OAB, se
tiene: OA
sinOBA
 AB
sinAOB
 OB
sinOAB
. De donde AB  a 512 , OB 
a 2
6 ,
SOAB  12 AB  OA  sinOAB 
a2
48 . El área del octógono es
a2
6 .
G 7- Dado un triángulo ABC, se toman sobre los lados los puntos A′, B′ y C ′, de forma que
C ′A
C ′B
 A
′B
A′C
 B
′C
B′A
 mn . Se unen AA
′, BB′ y CC ′. Calcular el área S ′ de un triángulo cuyos
lados sean iguales a estas tres rectas, en función del área S del triángulo ABC. Sean A′′, B′′ y C ′′ las
intersecciones de las rectas AA′, BB′ y CC ′. Calcular el área S ′′ del triángulo A′′B′′C ′′, en función
de S.
Solución:
A
B C
C’
A’
B’
A’’
B’’ C’’
A
B C
C’
A’
B’
A’’
B’’ C’’
Sean a, b y c los lados del triángulo ABC, y sean a ′  AA′, b ′  BB′ y c ′  CC ′. Se tiene
a ′2  m
2
m  n2
a2  c2 − 2maccosBm  n . Como −2accosB  b
2 − a2 − c2, se tiene que:
a ′2m  n2  m2a2  c2m  n2  mb2 − a2 − c2m  n  −mna2  mm  nb2  nm  nc2.
Obteniendo las expresiones análogas para b ′ y c ′, y sumándolas, se tiene:
m  n2a ′2  b ′2  c ′2  m  n2 − mn a2  b2  c2, es decir:
a ′2  b ′2  c ′2
a2  b2  c2
 m
2  mn  n2
m  n2
. Como S2  pp − ap − bp − c, sustituyendo p  a  b  c2
y operando, se tiene: 16S2  a2  b2  c22 − 2a4  b4  c4. Análogamente:
S ′2  a ′2  b ′2  c ′22 − 2a ′4  b ′4  c ′4  m
2  mn  n2
m  n2
2
a2  b2  c22 − 2a4  b4  c4
Luego, S ′  m
2  mn  n2
m  n2
S. Por otra parte se tiene que AB
′′
AC ′′
 mn ,
A′B′′
A′C ′′
 n
2
m2
,
B′′C ′′
a ′
 n
2 − m2
m2  mn  n2
.
Luego: S
′′
S ′
 S
′
S 
n2 − m2
m2  mn  n2
2 m2  mn  n2
m  n2
 
n − m2
m2  mn  n2
.
Por tanto: S ′′  n − m
2
m2  mn  n2
S.
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G 8- Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los pies de las bisectrices interiores del
triángulo ABC, cuyos lados son a, b y c.
Solución:
A
B M C
P
N
A
B M C
P
N
Se tienen las siguientes igualdades: S  SABC, ∑  SMNP, S1  SAPN, S2  SBPM, S3  SCMN,
MC  abb  c , MB 
ac
b  c , PA 
bc
a  b , PB 
ac
a  b , NC 
ab
a  c , NA 
bc
a  c ,
∑  S − S1 − S2 − S3,
∑
S  1 −
S1
S −
S2
S −
S3
S ,
S1
S 
BM  BP
BC  BA 
ac
b  ca  b . Se
obtienen expresiones análogas para S2 y S3. De donde:
∑
S  1 −
ac
b  ca  b −
ab
a  cb  c −
bc
a  ba  c 
2abc
a  bb  cc  a .
Por tanto el área pedida es:∑  2abc
a  bb  cc  a S.
G 9- Se da un círculo O, un diámetro AOB, y una cuerda CD perpendicular al diámetro. Calcular el
área de los círculos inscritos en las cuatro regiones definidas en el círculo, sabiendo que AB  10 y
CD  6 (ver problema E 22)
Solución:
A
N E O M
B
T O’
C
D
S
O’’
A
N E O M
B
T O’
C
D
S
O’’
CE2  AE  EB, es decir, 9  AE10 − AE, AE  1, EB  9. Sean O y O ′ los centros de los
círculos inscritos en el semicírculo superior, sean T y S sus puntos de tangencia con O y sean sus
radios r ′  O ′T  O ′N  NE, y r ′′  O ′′S  O ′′M  ME. Se tiene OT  5, O ′O  5 − r ′,
O ′N  r ′, EO  AO − AE  4. Luego en el triángulo OO ′N, se tiene 5 − r ′2  r ′2  r ′  42, de
donde r ′  3 10 − 9. Se tiene OS  5, OO ′′  5 − r ′′, O ′′M  r ′′, EO  AO − AE  4,
OM  r ′′ − 4. En el triángulo OO ′′M, se tiene 5 − r ′′2  r ′′2  r ′′ − 42, de donde r ′′  10 − 1.
Por tanto el área del círculo O ′ es:  3 10 − 9 2  9 19 − 6 10 . Y el área del círculo O ′′ es:
 10 − 1 2   11 − 2 10 .
G 10- Calcular el área de un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia de radio 5, sabiendo
que los ángulos A y C son rectos, y que la diagonal BD  15.
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