Areas-de-los-triangulos-para-Quinto-Grado-de-Secundaria

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Introducción
Como bien es sabido, el tamaño que presenta el terreno 
de la casa que habitamos, los terrenos de cultivo y 
en general las propiedades particulares y del estado, 
provocaron en nuestros antepasados, el establecimiento 
de una nueva magnitud denominada área, sin cuya 
definición hubiera sido imposible reconocer una 
diferencia entre la extensión de una superficie con 
relación a otra. No bastaba entonces saber la longitud 
de los lados de una figura, pues en algunos casos el 
tamaño de estas coinciden, mas no así las superficies que 
encerraban. Desde tiempos remotos, se sabe que fue a 
partir del rectángulo que se logró establecer una forma 
de medida del área en base al producto de sus lados. A 
partir de ella el área de un triángulo resultó ser la mitad 
del área de aquel. De este modo el área de un cuadrado, 
de un paralelogramo y en general de un polígono de 
lados, podían ser medidos en base a los dos primeros.
Nociones previas
La región es un conjunto de puntos pertenecientes a 
una superficie plana y limitado por una línea simple y 
cerrada.
Región
⇒
Superficie limitada
Superficie curva
Región
Superficie plana
La región poligonal es el conjunto de puntos 
pertenecientes al interior de un polígono unido con 
los puntos del polígono.
Región poligonal
Región poligonal
El área es la medida de la extensión de una superficie. 
La unidad de área del sistema internacional es el metro 
cuadrado con sus múltiplos y submúltiplos.
Área 
El metro cuadrado es el área de una región limitada por 
un cuadrado de un metro de lado.
Metro cuadrado
Figuras equivalentes
Dos figuras geométricas son equivalentes si teniendo 
formas diferentes tienen el mismo tamaño. Para figuras 
planas, el tamaño se refiere al área. Así dos figuras planas 
son equivalentes si tienen igual área. 
Para figuras espaciales el tamaño se refiere al volumen. 
Así dos figuras espaciales son equivalentes si tienen 
igual volumen. 
1m
1m
1m1m
Metro cuadrado (m2)
<	>Am2 Am2
Figuras equivalentes
ÁREAS DE LOS TRIÁNGULOS
Teorema del área de un rectángulo
El área de un rectángulo es igual al producto de su base 
por su altura.
a
b
Si dividimos en “b” unidades lineales a lo largo del 
rectángulo y en “a” unidades lineales a lo ancho, se 
forman axb cuadrados de una unidad cuadrada que es 
el área del rectángulo.
Demostración:
1) Fórmula base
Área de Regiones Triangulares
CA b
B
h
b.h
2A =
CA
a
B
h
a.h
2A =
b.h
2A =
2) Fórmula de herón
a
c
b
 Siendo: p= a+b+c2
 Se tiene: A= p(p–a)(p–b)(p–c)
3) Forma trigonométrica
A= . sen αa.b
2
a
b
α
4) Área en función del inradio
A = p . rr
5) Área en función del circunradio
a
c
bs R
R: circunradio abc
4RS=
6) Área en función del exradio
Ra: ExRadio
p: Semiperímetro
A
Ra
C
B
a
SABC = (p–a)Ra
CA
B
h
b
SABC = Ra.Rb.Rc.r
7) área en función del inRADIO y exradio
A
Ra
B
r
C
Rc
Rb
Ra,Rb,Rc: Exradios
r: inradio
Casos especiales
Triángulo equilátero
LL
L
A = L2. 3
4
I) 
A= h
2 3
3
II) 
h
EN EL Triángulo Rectángulo
a b
A= a.b2
I) 
II) 
h
c
A = c.h2
III) 
A = m.n
nm
IV) 
SABC = Ra.Rc
A
Ra
B
C
Rc
V) 
RbA
B C
r
SABC = Rb.r
Observación:
Ra.Rc = Rb.r
Demostración:
1) Área de un triángulo en función del semiperímetro. 
c a
b
B
A C
SABC = p(p–a)(p–b)(p–c)
Sea: p=
Se sabe: SABC= ........................(1) 
Pero: h= p(p–a)(p–b)(p–c)
En (1): SABC= p(p–a)(p–b)(p–c)
a+b+c
2
b.h
2
2
b
2) Área de un triángulo en función del inradio. 
B
b
CA
c a
r
SABC = p.r a+b+c2(p = )
Demostración: B
b CA
c ar r
rO
SABC = + +br
2
ar
2
cr
2
SABC = = r.pa+b+c2
r( )
3) En la figura L, P y Q son puntos de tangencia. Calcula 
el área del triángulo QPC si BL = 6 u y AB = AC.
Resolución:
SQPC= ..........................(1)
(QC)(PA)
2
B
A CQ
P
L
53°/2
O
53°/2
BO bisectriz y BL=6;
OL = OP = r =
	 	 ∴	r = 3 
AP = r = 3 + BL = PB = 6 
	 ⇒		 AB = 6 + 3 = 9
	 ⇒	AB = AC = 9; QA = AP = 3
En (1): SQPC = 
 ⇒	SQPC = 18 u2	
Rpta.: SQPC = 18 u2
(3+9)3
2
BL
2
B
53°
A CQ
P
L
Ejercicios resueltos
Nivel I
1. En un triángulo la altura relativa 
a la base es cuatro veces el valor 
de dicha base. Si el área del 
triángulo es de 32m2, halla la 
suma de la base y de la altura.
a) 4 m b) 8 m c) 16 m
d) 20 m e) 24 m
2. Los lados de un triángulo ABC 
miden AB=5m; BC= 8m y AC 
=11m. Halla el área de dicha 
región triangular.
a) 21 m2 b) 2 21 m2 
c) 3 21 m2 d) 4 21 m2
e) N.A.
3. Los lados de un triángulo miden 
5; 6 y 7 cm. Halla las longitudes 
del inradio y circunradio.
a) 2 6 /3 y 35 6/24 
b) 6 6 y 6/4 
c) 2 6 y 35 6/4 
d) 6 6 y 3 6/4 
e) N.A.
4. En la figura, halla el área del 
triángulo equilátero ABC.
CA
B
P
2
34
l
a) 9u2 b) 9 3 u2
c) 18 3 u2 d) 27 3 u2
e) 36 3 u2
Nivel II
5. ABC es un triángulo equilátero. 
Si FC = EB+1 y AC = 5(EB) = 
10, calcula el área del triángulo 
sombreado EBF.
B
A C
F
E
a) 5 6
3
u2 b) 4 2
9
u2 
c) 7 32 u
2 d) 7 69 u
2 
e) 7 7
2
 u2
6. En un triángulo isósceles ABC 
(AB=BC) se sabe que la altura 
BH mide 8u y el perímetro es 
32u. Halla el área del triángulo. 
a) 126 u2 b) 64 u2 c) 48 u2
d) 142 u2 e) 56 u2
7. Si AB = 6, BC = 8 y R = 4, calcula 
el área del triángulo.
R
A C
B
a) 18 u2 b) 26 u2 c) 28 u2
d) 36 u2 e) 38 u2
Nivel III
8. Halla x si S = 216m2.
A C
B
S
3x 4x
a) 1 m b) 3 m c) 2 m
d) 4 m e) 6 m
9. Halla el área de la región 
sombreada (P y Q: puntos de 
tangencia).
A C
B
3u 4u
Q
P
a) 4,5 u2 b) 4 u2 c) 5,5 u2
d) 7,5 u2 e) 2 u2
10. Las bases de un trapecio miden 
4 dm y 8 dm, además su altura 
es de 2 dm. Calcula el área 
del triángulo cuyos vértices 
son los puntos medios de 
las diagonales y el punto de 
corte de los lados no paralelos. 
a) 1 dm2 b) 2 dm2 c) 3 dm2
d) 4 dm2 e) 5 dm2
Trabajando en Clase
 
 
Rpta : Rpta :
Rpta :Rpta :
4. En un triángulo ABC, la mediana BM corta a 
la ceviana interior AE en el punto P, siendo 
EC=2BE y el área del triángulo BPE = 2u2. 
Halla el área del triángulo ABC.
3. Halla el área sombreada si el área del triángulo 
ABC es 24u2.
B
A C
G
N
M
2. Halla el área sombreada si el área del triángulo 
ABC es 42m2.
B
A C
2k
P
M
k
1. Halla el área de la región sombreada si el área 
del triángulo ABC es 120 m2.
B
A C3k 7k
Tarea domiciliaria N° 7
 
Rpta :
Rpta : Rpta :
Rpta :
8. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 20. 
Halla el área de la región sombreada siendo 
“T” punto de tangencia.
DA
CB
T
7. En un triángulo rectángulo ABC recto en 
“B” se construye exteriormente el cuadrado 
ACDE. Si AB=4 y BC= 6, halla el área del 
triángulo ABD.
6. El área de un triángulo ABC es 72u2. Por el 
baricentro “G” se trazan paralelas a AB y 
BC que cortan a AC en los puntos “E” y “F”, 
respectivamente. Halla el área del triángulo 
EGF.
5. El lado AC de un triángulo ABC mide 10u. 
Calcula la longitud del segmento PQ paralelo 
a AC , tal que las áreas del triángulo PBQ y 
el trapecio APQC se encuentran en la relación 
de 2 a 3.