Geometria Sem 11

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11SAN MARCOS REGULAR 2014 – II GEOMETRÍA TEMA 11
SNII2GEO11
GEOMETRÍA
TEMA 11
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
DESARROLLO DEL TEMA
I. ÁREA DEL CÍRCULO
 
2S R= p

II. ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
 
 Observación
•	 El	área	de	un	sector	circular	de	radio	R	y	ángulo	central			
se	calcula	 R .
2
a2 	radianes)
III. ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
 
 Observaciones:
2RS
2
p=
 
2RS
6
p=
 
2RS
4
p=
 
2RS
3
p=
 
2RS
8
p=
 Observación
•	 Las	áreas	de	todos	los	círculos	son	proporcionales	al	
cuadrado	de	sus	radios.
•	 Las	 áreas	 de	 todos	 los	 triángulos	 equiláteros	 son	
proporcionales	a	los	cuadrados	de	sus	lados.
ak bk
a b
A
A
A A
A
A
A A
A
A
A
A A
A
AG
G→Baricentro
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
22 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIGEOMETRÍATEMA 11
Problema 1
En	el	gráfico,	calcula	el	área	de	la	región	
sombreada.	Si	QM	=	2.
UNMSM 2000–I
NIVEL DIFÍCIL
A)	 18		 B)	 12	 C)	 15
D)	 20	 E)	 10
Resolución:
1. Se une PQ y AP
APQ	(Teorema	de	Pitágoras)
2 2 2(a 2) a (AQ)+ =
a 5 AQ=
2. jAPQO es un trapecio.
Trasladando	áreas.
2
2
x x
1 aS (a 2) S
4 2
p p= ⇒ =
Teorema de las cuerdas
a 5 2 a a 2 5 a⋅ = ⋅ ⇒ =
•	 Reemplazando:
2
x
1S (2 5)
2
= p
 x
S 10= p
Respuesta: 10 p
PROBLEMAS RESUELTOS
IV. RELACIÓN DE ÁREAS
Nota:
Las	áreas	determinadas	son	proporcionales	al	lado	de	donde	
parte	la	bisectriz.
 
1
2
S a=
S b
Sugerencia:
Para	 relacionar	 área	 es	 importante	 recordar	 el	 teorema	
de	Thales.
Para Triángulos Semejantes
Si	el	ABC	es	semejante	al	MNL.
A1
c
A Cb
ba
q
B
a
h1 A2
l
M Ln
ba
q
N
m
h2
A a b c ... K
A m n
=
2 2 2
21
2 2 22
= = = =
l
Nota:
Las	 áreas	 de	 todos	 los	 círculos	 son	 proporcionales	 al	
cuadrado	de	sus	radios.
Propiedades:
 I) Para todo cuadrilátero
A
D
C
R
A	×	C	=	B	×	C
TOTAX
2
=
X
Sugerencia:
•	 Para	 calcular	 el	 área	 de	 una	 región	 circular	 solo	 se	
necesita	la	longitud	del	radio	y	es	necesario	recordar	
las	propiedades	generales	de	una	circunferencia.
•	 El	área	de	un	sector	circular	de	radio	R	y	ángulo	central	
,	se	calcula	
2R
2
a .	(a →	radianes)
II) Para todo trapecio
 
A	=	B
BA
TOTAX
2
=
X
III) En todo paralelogramo
 
A
A
A
B
C
TAB A C
2
= + =
A
A
A A
Nota:
Las	 áreas	 de	 todos	 los	 triángulos	 equiláteros	 son	
proporcionales	a	los	cuadrados	de	sus	lados.
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
33SAN MARCOS REGULAR 2014 – II GEOMETRÍA TEMA 11
Problema 2
Calcula	el	área	de	la	región	sombreada,	
si	mCM 	=	90°	(C,	M	y	O	son	puntos	de	
tangencia).
A)	 10	p	 B)	 32	p	 C)	 23	p
D)	 30	p	 E)	 40	p
UNMSM 2001–I
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
	(Teorema	de	Pitágoras)
32 +	(6	–	r)2 =	(3	+	r)2
9	+ 62 –	2(6)(r)	+	r2 = 32 +	2(3)(r)	+	r2
Sx = 23p
Respuesta: 23 p
Problema 3
Calcula	el	área	de	la	región	sombreada,	si	
el	área	de	la	región	triangular	es	80	m2.
A)	 28	m2
B)	 30	m2 
C)	 18	m2
D)	 50	m2
E)	 20	m2
UNMSM 2002–I
NIVEL FÁCIL
Resolución:
Se	traza	BM,	por	relación	de	áreas:		
8S	=	80	m2
S	=	10	m2.
Pero	piden	5S	
 ⇒	5(10	m2)	=	50	m2
Respuesta: 50 m2
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Hallar	el	radio	de	un	círculo	de	121p 
m2	de	área.
A)	 8m	 B)	 9	m	 C)	 11	m
D)	 13	m	 E)	 17	m
2. Hallar	el	área	de	un	sector	circular	
de	 ángulo	 60°	 y	 es	 parte	 de	 un	
círculo	de	radio	2cm.
A)	 3p/2	cm2 B)	 3p/5	cm2
C)	 5p/3	cm2 D)	 2p/3	cm2 
E)	 2p/5	cm2
3. Si	el	área	de	una	corona	circular	de	
28p	cm2,	el	radio	del	círculo	mayor	
de	dicha	corona	mide		8cm.	Calcular	
su	radio	menor.
A)	 3	cm	 B)	 4	cm	 C)	 5	cm
D)	 6	cm	 E)	 7	cm
4. El	 lado	de	un	cuadrado	mide	10	m.	
Hallar	el	área	del	círculo	inscrito	en	él.
A)	 12p	m2 B)	 14p	m2
C)	 20p	m2 D)	 21p	m2 
E)	 25p	m2
5. Hallar	el	área	de	la	corona.
 Si:	AB =	18,	AB:	cuerda	tangente		
a	la	menor	circunferencia.
A)	 18p B)	 54p	 C)	 72p 
D)	 81p	 E)	 91p
PROFUNDIZACIÓN
6. Hallar	 la	 relación	 entre	 las	 áreas	
del	 cuadro	 ABCD	 y	 el	 triángulo	
equilátero	APQ.
B
P
C
Q
DA
A)	 3 3/4 B)	 8 3/9
C)	 4/3 D)	 4/5
E)	 5/3
7. En	la	siguiente	figura:	ABCD	es	un	
rectángulo	de	área	20m2.	El	punto	
I	es	el	incentro	del	triángulo	ABD.	
Hallar	el	área	sombreada.	
A
I
B
D C
A)	 10	 B)	 20
C)	 30	 D)	 40
E)	 50
8. En	 la	 f igura,	 hal lar	 e l 	 área	
sombreada.	 Si	 MN =	 6	 y	 la	
distancia	 entre	 los	 centros	 es	 4 
(Tomar	p = 3 3)
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
44 SAN MARCOS REGULAR 2014 – IIGEOMETRÍATEMA 11
A O B
NM
A)	 2 p 
B)	 6 p
C)	 6 3 
D)	 9 3
E)	 N.A
9. Si	AP =	2,	BR =	1.	Hallar	el	área	
sombrada
O R B
P
A
A)	 3 B)	 4 C)	 5
D)	 6 E)	 N.A.
SISTEMATIZACIÓN
10. Sobre	 la	 circunferencia	de	6m	de	
radio	 se	 toma	 como	 centro	 un	
punto	con	radio	 igual	al	radio	del	
círculo	se	traza	un	arco	que	corta	a	
la	circunferencia	en	A	y	B.	Se	traza	
el	diámetro	AOC	y	haciendo	centro	
en	 “A”	 y	 con	 radio	 igual	 a	AB	 se	
traza	un	arco	que	corta	al	diámetro	
en	M.	Calcular	el	área	OMB.
A)	 3p B)	 5p	 C)	 7p 
D)	 3,5p	 E)	 4p
11. En	la	figura,	ABCD	es	un	cuadrado	
de	8m	de	lado.	Calcular	el	área	del	
círculo	sombreado.	
D
CB
A
A)	 4p	m2 
B)	 25p	m2 
C)	 9p	m2 
D)	 64p	m2
E)	 10p	m2
12. En	la	figura	AB	es	diámetro	AF = AB,	
si	AB =	 4m	 ¿Qué	 porcentaje	 del	
área	del	semicírculo	es	la	diferencia	
de	las	áreas	sombreadas?	
A B
F
30°
A)	 64 –	9p 
B)	 54	–	9p
C)	 34 +	9p 
D)	 36 –	9p
E)	 12p