Ejercicio resueltos de algebra lineal para computacion (20)

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Kendall Rodŕıguez Bustos..................................................................................................................56
= α ·
 a+ 3b− ca− 2b+ 3c
2a+ b+ 2c

= α · T (ax2 + bx+ c)
Por lo tanto, se tiene que T es una transformación lineal.
(b) Calcule el núcleo de T y obtenga una base para esta.
Solución:
Sea ax2 + bx+ c ∈ Nucl(T )⇔ T (ax2 + bx+ c) = 0
⇔
 a+ 3b− ca− 2b+ 3c
2a+ b+ 2c
 =
 00
0

⇔

a+ 3b− c = 0
a− 2b+ 3c = 0
2a+ b+ 2c = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones:
 1 3 −1 01 −2 3 0
2 1 2 0
 −F1+F2−→
−2F1+F3
 1 3 −1 00 −5 4 0
0 −5 4 0

−1
5
F2−→

1 3 −1 0
0 1
−4
5
0
0 −5 4 0

−3F2+F1−→
5F2+F3

1 0
7
5
0
0 1
−4
5
0
0 0 0 0

Donde obtenemos que a = −7
5
c y b =
4
5
c. Sustituyendo estos valores en el polinomio ax2 + bx+ c.
Kendall Rodŕıguez Bustos..................................................................................................................57
Tenemos que Nucl(T ) =
{(
−7
5
c
)
x2 +
(
4
5
c
)
x+ c
/
c ∈ R
}
.
Y como
(
−7
5
c
)
x2 +
(
4
5
c
)
x+ c = c
(
−7
5
x2 +
4
5
x+ 1
)
.
Sea A =
{
−7
5
x2 +
4
5
x+ 1
}
. Por lo que Gen(A) = Nucl(T ) y además A es linealmente indepen-
diente.
Por lo tanto, se tiene que A =
{
−7
5
x2 +
4
5
x+ 1
}
es una base de Nucl(T ).
(c) Calcule la imagen de T y obtenga una base para esta.
Solución:
Sea
 ef
g
 ∈ Im(T )⇔ T (ax2 + bx+ c) =
 ef
g
 para algún ax2 + bx+ c ∈ P2
⇔
 a+ 3b− ca− 2b+ 3c
2a+ b+ 2c
 = ( f
g
)
⇔

a+ 3b− c = e
a− 2b+ 3c = f
2a+ b+ 2c = g
Resolviendo este sistema de ecuaciones:
 1 3 −1 e1 −2 3 f
2 1 2 g
 −F1+F2−→
−2F1+F3
 1 3 −1 e0 −5 4 −e+ f
0 −5 4 −2e+ g

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F2+F3−→
 1 3 −1 e0 −5 4 −e+ f
0 0 0 −e− f + g

El sistema tiene soluciones si y solo si −e− f + g = 0⇔ e = −f + g.
Aśı, tenemos que Im(T ) =

 −f + gf
g
 / f, g ∈ R
.
Y como
 −f + gf
g
 = f ·
 −11
0
+ g ·
 10
1
.
Sea B =

 −11
0
 ,
 10
1
. Entonces se tiene que Gen(B) = Im(T ) y además B es linealmente
independiente, pues los vectores no son múltiplos.
Por lo tanto, B =

 −11
0
 ,
 10
1
 es una base de Im(T ). �
2. Sea T ∈ L (R3, P2). Si T
 10
1
 = x + 1, T
 11
0
 = x2 + 1, T
 00
2
 = −2x2 + 2. Calcule el
criterio de T , es decir, calcule T
 ab
c
 para
 ab
c
 ∈ R3.
Solución:
Buscamos C1, C2, C3 tales que: ab
c
 = C1 ·
 10
1
+ C2 ·
 11
0
+ C3 ·
 00
2

⇔
 ab
c
 =
 C1 + C2C2
C1 + 2C3

⇔

C1 + C2 = a
C2 = b
C1 + 2C3 = c