Herramientas algenbra lineal (27)

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e4 =
0 0 01 0 0
0 0 0
 , e5 =
0 0 00 1 0
0 0 0
 , e6 =
0 0 00 0 1
0 0 0
 ,
e7 =
0 0 00 0 0
1 0 0
 , e8 =
0 0 00 0 0
0 1 0
 , e9 =
0 0 00 0 0
0 0 1

Escribamos las ecuaciones que definen F1,
A+ At =
 2a11 a12 + a21 a13 + a31a21 + a12 2a22 a23 + a32
a31 + a13 a32 + a23 2a33 = 0
, luego
F1 = {a11 = a22 = a33 = 0, a12 + a21 = 0, a13 + a31 = 0, a23 + a32 = 0}
El rango de dicho sistema es 6, por lo que dimF1 = 9− 6 = 3.
Escribamos, ahora, las ecuaciones que definen F2,
Denotemos por tr a la traza de la matriz.
trA = a11 + a22 + a33, luego
F2 = {a11 + a22 + a33 = 0}
El rango de dicho sistema es 1, por lo que dimF2 = 9− 1 = 8.
El subespacio F3 está ya definido como conjunto de soluciones de un sistema de
ecuaciones lineal homogéneo.
Estudiemos pues el rango de dicho sistema.
El rango de dicho sistema es 2, por lo que dimF3 = 9− 2 = 7.
— — —
25. Encontrar las ecuaciones que definen los subespacios vectoriales de R5 siguientes:
F = [(2, 1,−1, 0, 0), (0, 1, 1,−2, 1)]
G = [(1, 3, 0, 0, 0), (1,−2, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 3,−1)]
Solución:
80 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Sea (x, y, z, t, u) ∈ F luego este vector ha de ser dependiente de los generadores de
F esto es
rango

2 0
1 1
−1 1
0 −2
0 1
 = rango

2 0 x
1 1 y
−1 1 z
0 −2 t
0 1 u
 .
Obliguemos pues a que ambos rangos coincidan
2 0 x
1 1 y
−1 1 z
0 −2 t
0 1 u
 ∼

2 0 x
0 2 2y − x
0 2 2z + x
0 −2 t
0 1 u
 ∼

2 0 x
0 2 2y − x
0 0 2x− 2y + 2z
0 0 −x+ 2y + t
0 0 x− 2y + 2u
 .
Para que los rangos coincidan ha de ser
2x− 2y + 2z = 0
−x+ 2y + t = 0
x− 2y + 2u = 0
 .
Análogamente para el subespacio G

1 1 1 x
3 −2 2 y
0 0 0 z
0 1 3 t
0 0 −1 u
 ∼

1 1 1 x
0 −5 −1 y − 3x
0 1 3 t
0 0 −1 u
0 0 0 z
 ∼

1 1 1 x
0 −5 −1 y − 3x
0 0 14 −3x+ y + 5t
0 0 −1 u
0 0 0 z
 ∼
∼

1 1 1 x
0 −5 −1 y − 3x
0 0 14 −3x+ y + 5t
0 0 0 −3x+ y + 5t+ 14u
0 0 0 z

81
Para que los rangos coincidan ha de ser
−3x+ y + 5t+ 14u = 0
z = 0
}
.
— — —
26. Encontrar las ecuaciones que definen los subespacios vectoriales de R4[t] siguien-
tes: F = [1 + 2t, t2], G = [1 + t− t2, t2 − t4, 1 + t4].
Solución:
Escojamos una base de R4[t]: {1, t, t2, t3, t4} por ejemplo,
En coordenadas los generadores de F son
1 + 2t = (1, 2, 0, 0, 0)
t2 = (0, 0, 1, 0, 0)
Obliguemos a que (x, y, z, u, v) ∈ F

1 0 x
2 0 y
0 1 z
0 0 u
0 0 v
 .
El rango de dicha matriz es 2 si y sólo si
2x− y = 0
u = 0
v = 0
 .
Escribamos también en coordenadas los generadores de G
1 + t− t2 = (1, 1,−1, 0, 0)
t2 − t4 = (0, 0, 1, 0,−1)
1 + t4 = (1, 0, 0, 0, 1)
Obliguemos a que (x, y, z, u, v) ∈ G,