Herramientas algenbra lineal (37)

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A =

3 1 0 0
−4 −1 0 0
7 1 2 1
−17 −6 −1 0
 .
Busquemos las imágenes de los vectores de la base del subespacio

3 1 0 0
−4 −1 0 0
7 1 2 1
−17 −6 −1 0


2 1
−4 −2
7 1
−17 −6
 =

2 1
−4 −2
7 1
−17 −6
 .
Observamos que ambos vectores son invariantes, por lo tanto el subespacio es inva-
riante.
— — —
25. Sea f : R2[t] −→ R2[t] la aplicación lineal definida por: f(p(t)) = 2p(t)− 3p′(t).
a) Dar la matriz de f−1 en la base (1, t, t2) de R2[t].
b) Escribir f−1 en función de f .
Solución:
a) Determinemos primero la matriz de la aplicación en la base dada
A =
2 −3 00 2 −6
0 0 2
 .
Basta ahora invertir dicha matriz A−1 =
12 34 940 1
2
3
2
0 0 1
2
.
b) Observamos que (f − 2id)3 = 0 de donde
110 CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
f 3 − 6f 2 + 12f − 8id = 0
1
8
(f 3 − 6f 2 + 12f) = id
1
8
(f 2 − 6f + 12id)f = id
1
8
(f 2 − 6f + 12id) = f−1.
— — —
26. Sean f , g los endomorfismes de R2[t] definidos mediante:
f(1) = 1 + 1
2
t2
f(t) = 2− t+ t2
f(t2) = 2t2
g(a+ bt+ ct2) = (a+ b+ 2c) + bt− (1
4
a+
7
4
b+
1
2
c)t2
a) Dar la matriz de f en la base (1, t, t2) de R2[t].
b) Dar la matriz de f ◦ g en la base (1, t, t2) de R2[t].
c) ¿Es f invertible? En caso afirmativo, dar la matriz de f−1 en la base (1, t, t2).
d) ¿Es f ◦ g invertible?
e) Determinar Im (f ◦ g).
Solución:
a)
A =
1 2 00 −1 0
1
2
1 2
 .
b) Escribamos primero la matriz de la aplicación g en la base dada
111
 1 1 20 1 0
−1
4
−7
4
−1
2
 .
Por lo tanto
B =
1 2 00 −1 0
1
2
1 2
 1 1 20 1 0
−1
4
−7
4
−1
2
 =
1 3 20 −1 0
0 −2 0
 .
c) rangoA = 3, por lo tanto la matriz es invertible. Calculando la inversa tenemos
A−1 =
 1 2 00 −1 0
−1
4
0 1
2
 .
d) rango (f ◦ g) = 2, por lo tanto el endomorfismo no es invertible.
e) Im(f ◦ g) = [1, 3− t− 2t2].
— — —
27. Sea f un endomorfismo de R2[t] definido por
f(a+ bt+ ct2) = (a+ 2b+ c) + (αa+ b)t+ (a+ 2b+ αc)t2.
Encontrar las dimensiones de Ker f y Im f según los distintos valores de α ∈ R.
Solución:
Escojamos una base de R2[t], por ejemplo {1, t, t2} y escribamos la matriz de la
aplicación en dicha base.
A =
1 2 1α 1 0
1 2 α
 ,