Herramientas algenbra lineal (33)

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6. Determinar los subespacios vectoriales Ker f y Im f para la aplicación lineal
f : R3 −→ R3
(x1, x2, x3) −→ (x1 + x2 − x3, x1 − x2 + x3,−x1 + x2 + x3)
Solución:
Escribamos la matriz de la aplicación lineal en la base canónica.
Recordemos que cada columna de la matriz es la imagen de los vectores de la base
expresados en la base del espacio de llegada (en este caso la misma) o equivalente-
mente cada fila son los coeficientes de los polinomios (homogéneos de grado 1) en
las variables dadas por las coordenadas
A =
 1 1 −11 −1 1
−1 1 1

Busquemos el Ker f ,  1 1 −11 −1 1
−1 1 1
x1x2
x3
 =
00
0

Sistema compatible determinado, por lo que
Ker f = {(0, 0, 0)}.
Teniendo en cuenta que Im f = [f(e1), f(e2), f(e3)] y que la matriz A (cuyas colum-
nas son f(e1), f(e2), f(e3)), tiene rango máximo tenemos que
Im f = R3.
— — —
7. Dar la matriz del endomorfismo f de R3 definido por
f(x1, x2, x3) = (2x1 + 3x2 − x3, x1 + 2x2 − x3, x2 + 2x3)
en la base canónica de R3 y en la base u = {(1,−1, 0), (0, 1, 1), (2, 0, 1)}.
98 CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
Solución:
Para escribir la matriz en la base canónica basta observar los coeficientes de los po-
linomios que definen las coordenadas del vector imagen. Aśı, la primera coordenada
es el polinomio 2x1 + 3x2 − x3 cuyos coeficientes son 2,3,-1, por lo que la primera
fila es 2,3,-1, etc.
A =
2 3 −11 2 −1
0 1 2
 .
Para obtener la matriz en la nueva base basta hacer
Ā = S−1AS
siendo S =
 1 0 2−1 1 0
0 1 1

Calculemos S−1
S−1 =
−1 −2 2−1 −1 2
1 1 −1
.
Por lo que haciendo el producto matricial tenemos
Ā =
 1 2 −10 3 0
−1 0 2
 .
— — —
8. Consideremos la aplicación lineal
f : M2(R) −→ R4(
a b
c d
)
−→ (a+ b− d, c+ d, b− 2c+ d, a− d).
Dar la matriz de f en las bases
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u =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
de M2(R), y
v = {(1,−1, 0, 1), (1, 1, 2, 0), (1, 1, 0, 2), (0, 1, 1, 1)} de R4.
Solución:
Escribamos primero la matriz tomando la base u en el espacio de partida y la base
canónica en el espacio de llegada y tenemos
A =

1 1 0 −1
0 0 1 1
0 1 −2 1
1 0 0 −1
 .
Sea S =

1 1 1 0
−1 1 1 1
0 2 0 1
1 0 2 1
 la matriz cambio de base que nos pasa los vectores expre-
sados en la base v a la base canónica.
Por lo tanto la matriz buscada es
Ā = S−1A
Calculando la inversa de la matriz S y realizando el producto tenemos
Ā =

1
3
1
3
−1
3
−2
3
1
6
2
3
−1
6
1
6
1
2
0 3
2
−1
2
−1
3
−1
3
−5
3
2
3
 .
— — —
10. Calcular la imagen por la aplicación lineal
f : R3 −→ R3[t]
(x1, x2, x3) −→ (x1 + x2) + (x1 − x3)t+ x3t2 + x2t3
del vector de R3, cuyas coordenadas en la base u = {(−1, 0, 1), (2, 1, 1), (1, 0, 2)} son
1,-2,3.