Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (31)

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3 GEOMETRÍA
Finalmente, el plano que contiene a ℓ y Q tiene por vectores directores al vector de ℓ y a
−−→
PQ, donde
P es un punto de ℓ. Tomando P = (3, 0, 4) tenemos
−−→
PQ = (−5, 0,−2), que podemos cambiar por
su opuesto, y por tanto la ecuación impĺıcita del plano es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 5 x+ 2
−1 0 y
3 2 z − 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
o sea − 2x+ 11y + 5z = 14
Alternativa: El producto vectorial (2, 1,−1)× (4,−1,−3) = (−4, 2,−6) es un vector director de ℓ,
que podemos cambiar por (2,−1, 3) para obtener ℓ′, π′ y Q como antes. Entonces se consideran
todos los planos que contienen a ℓ, que son de la forma (haz de planos)
α(2x+ y − z − 2) + β(4x− y − 3z) = 0
El que contiene a Q debe satisfacer (sustituyendo Q) −8α − 14β = 0, por lo que podemos tomar
α = 7 y β = −4, obteniendo aśı el plano −2x+ 11y + 5z = 14.
o
28. Encuentra las ecuaciones del plano de R3 que pasa por P = (1, 1,−1) y es perpendicular a la recta
(x, y, z) = (−1, 6, 4) + λ(3, 2, 1).
Solución: Ser perpendicular a una recta significa ser perpendicular a su vector director, luego nues-
tro plano es perpendicular a (3, 2, 1) y por tanto su ecuación general es de la forma 3x+ 2y + z = D .
Como debe pasar por P se tiene D = 4 y aśı el plano es 3x+ 2y + z = 4.
o
29. Se consideran los puntos de R3 de coordenadas
A = (1, 2, 1) B = (−1, 1, 1) C = (0, 1, 2) D = (3, 1,−1)
Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, la ecuación del plano que contiene a ese triángulo
y la distancia del punto D a ese plano.
Solución: Consideremos el paralelogramo P que determinan
−−→
AB = (−2,−1, 0) y−→AC = (−1,−1, 1).
El área de P es el doble que la del triángulo pedido T , y por otra parte es el módulo del producto
vectorial de esos vectores, que se calcula del modo usual y vale
√
6. Por tanto el área de T vale√
6/2.
El plano pedido es el que pasa por A y contiene a esos vectores, luego su ecuación general es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x− 1 y − 2 z − 1
−2 −1 0
−1 −1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −(x− 1) + 2(y − 2) + (z − 1) = −x+ 2y + z − 4
y la distancia de D a ese plano vale
| − 3 + 2− 1− 4|√
1 + 4 + 1
=
6√
6
=
√
6.
o
Matemáticas de 1 , problemas 91 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
30. En el espacio R3, se considera la recta que pasa por el punto (1, 2, 7) y es perpendicular al plano de
ecuación 2x+y−3z = 5. Calcular el punto de intersección de esa recta con el plano 3x+2y+4z = 23.
Solución: Como el vector (A,B,C) es perpendicular al plano Ax + By + Cz = D, la recta
considerada tiene por vector director a (2, 1,−3), y sus puntos tienen por tanto la forma (x, y, z) =
(1 + 2t, 2 + t, 7− 3t). Un punto aśı está en el otro plano si satisface su ecuación, o sea si
23 = 3(1 + 2t) + 2(2 + t) + 4(7− 3t) = 35− 4t ⇒ 4t = 12 ⇒ t = 3
y por tanto el punto pedido es (7, 5,−2).
o
31. En R3 se pide, dados el punto Q = (4, 2, 7) y la recta ℓ de ecuaciones
{
x+ y − 4z = −4
x+ 2y − 6z = −7
}
:
a) Calcula unas ecuaciones paramétricas de ℓ.
b) Calcula unas ecuaciones paramétricas de la recta paralela a ℓ por Q.
c) Calcula una ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ por Q.
d) Encuentra un punto R de ℓ tal que la recta que une R y Q sea perpendicular a ℓ.
Solución: Para obtener unas paramétricas resolvemos en función de un parámetro:
(
1 1 −4 −4
1 2 −6 −7
)
→
(
1 1 −4 −4
0 1 −2 −3
)
→
(
1 0 −2 −1
0 1 −2 −3
)
Tomando z = α tenemos


x
y
z

 =


2α− 1
2α− 3
α

, o sea


x
y
z

 =


−1
−3
0

+ α


2
2
1

.
La paralela por Q se obtiene sin más que cambiar el punto por Q:


x
y
z

 =


4
2
7

+ α


2
2
1

.
Los planos perpendiculares a ℓ son de la forma 2x + 2y + z = D, y el que pasa por Q es el que
satisface D = 2 · 4 + 2 · 2 + 7 = 19, o sea 2x+ 2y + z = 19.
Se trata de encontrar un punto de ℓ, que tendrá coordenadas R = (2α − 1 , 2α − 3 , α), tal que el
vector
−−→
QR = (2α − 5 , 2α − 5 , α − 7) sea perpendicular a (2, 2, 1). Por tanto el producto escalar
debe ser nulo, o sea
0 =
−−→
QR · (2, 2, 1) = (4α− 10) + (4α− 10) + (α− 7) = 9α− 27
Por tanto el valor adecuado es α = 3 y el punto es R = (5, 3, 3).
o
Matemáticas de 1 , problemas 92 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
32. En R3 se pide, dados el punto Q = (2, 4, 1) y la recta ℓ de ecuaciones
{
x− 4y + z = −4
2x− 6y + z = −7
}
:
a) Calcula unas ecuaciones paramétricas de ℓ.
b) Calcula unas ecuaciones paramétricas de la recta paralela a ℓ por Q.
c) Calcula una ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ por Q.
d) Encuentra un punto R de ℓ tal que la recta que une R y Q sea perpendicular a ℓ.
Solución: Para obtener unas paramétricas resolvemos en función de un parámetro:
(
1 −4 1 −4
2 −6 1 −7
)
→
(
1 −4 1 −4
0 2 −1 1
)
→
(
1 −2 0 −3
0 −2 1 −1
)
Tomando y = α tenemos


x
y
z

 =


2α− 3
α
2α− 1

, o sea


x
y
z

 =


−3
0
−1

+ α


2
1
2

.
La paralela por Q se obtiene sin más que cambiar el punto por Q:


x
y
z

 =


2
4
1

+ α


2
1
2

.
Los planos perpendiculares a ℓ son de la forma 2x + y + 2z = D, y el que pasa por Q es el que
satisface D = 2 · 2 + 4 + 2 · 1 = 10, o sea 2x+ y + 2z = 10.
Se trata de encontrar un punto de ℓ, que tendrá coordenadas R = (2α − 3 , α , 2α − 1), tal que el
vector
−−→
QR = (2α − 5 , α − 4 , 2α − 2) sea perpendicular a (2, 1, 2). Por tanto el producto escalar
debe ser nulo, o sea
0 =
−−→
QR · (2, 1, 2) = (4α− 10) + (α− 4) + (2α− 4) = 9α− 18
Por tanto el valor adecuado es α = 2 y el punto es R = (1, 2, 3).
o
33. En R3 se considera la recta ℓ de ecuaciones impĺıcitas
{
3x− 2y + 7z = 8
5x+ y + 3z = 9
}
, y se pide dar:
a) Unas ecuaciones impĺıcitas de la recta paralela a ℓ que pasa por Q = (3, 4, 5).
b) Un vector director de ℓ que tenga longitud 1.
c) La ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ que pasa por Q.
d) Unas ecuaciones paramétricas del plano que contiene a la recta ℓ y al punto R = (2, 2, 2).
Solución: (a) Basta con mantener los coeficientes de las incógnitas, para tener paralelismo, y
poner como términos independientes los valores obtenidos al sustituir Q = (3, 4, 5) en las incógnitas
(x, y, z), para que pase por Q. Se obtiene
{
3x− 2y + 7z = 36
5x+ y + 3z = 34
}
.
(b) Para obtener un vector director se puede por ejemplo resolver el sistema homogéneo
(
3 −2 7
5 1 3
)
→
(
13 0 13
5 1 3
)
→
(
1 0 1
5 1 3
)
→
(
1 0 1
0 1 −2
)
 


x
y
z

 = α


−1
2
1


Matemáticas de 1 , problemas 93 Alberto del Valle Robles