Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (37)

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4 TRANSFORMACIONES LINEALES (*)


1 4 0 0 1 0
0 1 0 −1 −4/3 5/3
0 0 1 −2 −10/3 11/3

→


1 0 0 4 19/3 −20/3
0 1 0 −1 −4/3 5/3
0 0 1 −2 −10/3 11/3


Por tanto A−1 =
1
3


12 19 −20
−3 −4 5
−6 −10 11

 y aśı f−1


x
y
z

 =
1
3


12x+ 19y − 20z
−3x− 4y + 5z
−6x− 10y + 11z

.
o
3. Se consideran los vectores ~v1 =


2
1
0

, ~v2 =


1
0
1

, ~v3 =


0
2
1

 y ~v =


3
3
2

, y se pide:
a) Comprueba que B = {~v1, ~v2, ~v3} es base.
b) Calcula la matriz en B de la transformación lineal f que fija ~v1, lleva ~v2 a su opuesto y lleva
~v3 a ~v.
Solución: La matriz [~v1, ~v2, ~v3] tiene determinante −5, luego B es una base. Las coordenadas
en B de f(~v1) = ~v1 son (1, 0, 0), y las de f(~v2) = −~v1 son (0,−1, 0), lo que nos da las dos
primeras columnas de MB(f). Su tercera columna lleva las coordenadas de f(~v3) = ~v, que se
calculan resolviendo el sistema con matriz ampliada [~v1, ~v2, ~v3 |~v] y valen (1, 1, 1). En conclusión,
MB(f) =


1 0 1
0 −1 1
0 0 1

.
o
4. Sea g : R2 → R2 un giro de ángulo arbitrario α, y sea f : R2 → R2 la simetŕıa ortogonal con
respecto a la recta x + y = 0. Calcular la matriz en la base canónica de la composición g ◦ f , y
calcular los valores propios de esa matriz.
Solución: Sabemos que la matriz del giro esM(g) =
(
C −S
S C
)
, donde C = cos(α) y S = sen(α).
La recta de la simetŕıa f es la diagonal del segundo y cuarto cuadrante, luego sobre los vectores de
la base canónica {i, j} se tiene f(i) = −j y f(j) = −1, y aśı
M(f) =
(
0 −1
−1 0
)
⇒ M(g◦f) = M(g)M(f) =
(
C −S
S C
)
·
(
0 −1
−1 0
)
=
(
S −C
−C −S
)
El polinomio caracteŕıstico es
∣
∣
∣
∣
λ− S C
C λ+ S
∣
∣
∣
∣
= (λ− S)(λ+ S)− C2 = λ2 − S2 − C2 = λ2 − (S2 + C2) = λ2 − 1
luego los valores propios son ±1.
o
Matemáticas de 1 , problemas 109 Alberto del Valle Robles
4 TRANSFORMACIONES LINEALES (*)
5. Para cualquier ángulo θ escribimos Sθ = sen θ y Cθ = cos θ.
Denotamos por fβ la transformación lineal de R
2 que lleva cada vector a su simétrico con respecto
a la recta que pasa por el origen y forma un ángulo β con respecto al eje horizontal. Se pide:
Comprueba que la matriz de fβ en la base canónica es
(
C2β S2β
S2β −C2β
)
.
Demuestra que la composición de dos simetŕıas fβ ◦ fγ es un giro.
Demuestra que la composición de una simetŕıa y un giro, en cualquier orden, es una simetŕıa.
Indicaciones: MC(h) = P ·MB(h) · P−1.
La matriz del giro gα de ángulo α es
(
Cα −Sα
Sα Cα
)
.
SA±B = SACB ± CASB (S2A = 2SACA) CA±B = CACB ∓ SASB (C2A = C2A −
S2A).
Solución: Un vector en la recta de simetŕıa es ~v1 = (Cβ , Sβ)
t, y uno perpendicular es ~v2 =
(−Sβ , Cβ)t. La matriz de fβ enB = {~v1, ~v2} esMB(fβ) =
(
1 0
0 −1
)
y poniendo P =
(
Cβ −Sβ
Sβ Cβ
)
se tiene
MC(fβ) = P MB(fβ)P
−1 =
(
Cβ −Sβ
Sβ Cβ
)(
1 0
0 −1
)(
Cβ Sβ
−Sβ Cβ
)
=
(
Cβ Sβ
Sβ −Cβ
)(
Cβ Sβ
−Sβ Cβ
)
=
(
C2β − S2β 2SβCβ
2SβCβ S
2
β − C2β
)
=
(
C2β S2β
S2β −C2β
)
Al componer dos simetŕıas se tiene
MC(fβ ◦ fγ) = MC(fβ)MC(fγ) =
(
C2β S2β
S2β −C2β
)(
C2γ S2γ
S2γ −C2γ
)
=
(
C2β−2γ −S2β−2γ
S2β−2γ C2β−2γ
)
y por tanto la composición es el giro de ángulo 2β − 2γ.
Por último, al componer una simetŕıa con un giro en uno u otro sentido se tiene:
MC(fβ ◦ gα) = MC(fβ)MC(gα) =
(
C2β S2β
S2β −C2β
)(
Cα −Sα
Sα Cα
)
=
(
C2β−α S2β−α
S2β−α −C2β−α
)
MC(gα ◦ fβ) = MC(gα)MC(fβ) =
(
Cα −Sα
Sα Cα
)(
C2β S2β
S2β −C2β
)
=
(
Cα+2β Sα+2β
Sα+2β −Cα+2β
)
de modo que, por el primer apartado, ambas composiciones son simetŕıas, con respecto a las rectas
de ángulos β − α2 y β + α2 , respectivamente.
o
Matemáticas de 1 , problemas 110 Alberto del Valle Robles
5 NÚMEROS COMPLEJOS
5. NÚMEROS COMPLEJOS
1. Explica las dos formas principales de escribir números complejos, su interpretación geométrica, la
relación entre ambas y cómo se multiplican dos números complejos dados en una u otra forma.
Solución: Una forma es como “parte real más parte imaginaria” (se le llama forma binomial), o
sea como a + bi con a, b ∈ R e i =
√
−1; la otra es la forma polar o módulo argumento, ρθ con
ρ ∈ [0,+∞) y θ ∈ [0, 2π).
La interpretación geométrica se hace en R2, el plano real: a + bi se identifica con el punto de
coordenadas cartesianas (a, b), mientras que ρθ es el punto de coordenadas polares (ρ; θ): dista ρ
del origen en la dirección que marca el ángulo θ, medido a partir del eje horizontal(=real) positivo.
La relación entre ambas es la misma que la que existe entre coordenadas cartesianas y polares:
ρ =
√
a2 + b2 θ = arctan(b/a) a = ρ cos(θ) b = ρ sen(θ)
(para el cálculo del arcotangente hay que fijarse en el cuadrante en el que está (a, b), y para a = 0
se tiene θ = π/2 o 3π/2).
Los productos con uno y otro tipo de expresiones se calculan aśı:
(a+ bi)(a′ + b′i) = (aa′ − bb′) + (ab′ + a′b)i ρθ · ρ′θ′ = (ρρ′)θ+θ′
o
2. Si un número complejo tiene forma binomial a+ bi y forma polar ρθ, se pide:
a) ¿Cómo se obtienen ρ y θ a partir de a y b? Obtén la forma polar de 1 + i.
b) ¿Cómo se obtienen a y b a partir de ρ y θ? Obtén la forma binomial de 23π/4.
Solución: La forma polar de 1 + i es
√
2π/4, y la forma binomial de 23π/4 es −
√
2 +
√
2 i.
o
3. En R: ¿Cuántas ráıces cúbicas tiene un número no nulo? ¿Cuántas ráıces cuartas tiene?
En C: ¿Cuántas ráıces cúbicas tiene un número no nulo? ¿Cuántas ráıces cuartas tiene?
Solución: En R (números reales), todos los números tienen una única ráız cúbica; los números
positivos tienen dos ráıces cuartas (una opuesta de la otra) y los negativos no tienen ninguna.
En C (complejos), todos los números no nulos tienen tres ráıces cúbicas y cuatro ráıces cuartas.
o
Matemáticas de 1 , problemas 111 Alberto del Valle Robles
	NÚMEROS COMPLEJOS