Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (40)

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5 NÚMEROS COMPLEJOS
Por la segunda ecuación tenemos ab = −2
√
5; multiplicando por x = a2 en la primera ecuación
queda x = x2 − (ab)2 = x2 − 20, por lo que x2 − x− 20 = 0 y por tanto (resolviendo la ecuación de
2 grado) debe ser x = 5 ó x = −4, pero la segunda opción se descarta pues x = a2 es un número
real positivo. En consecuencia es a2 = 5 y por tanto a = ±
√
5; como ab = −2
√
5 las ráıces son
±(
√
5− 2i).
El cubo de
√
5−2i es (
√
5−2i)(
√
5−2i)2 = (
√
5−2i)(1−4
√
5 i) = (
√
5−8
√
5)−(20+2)i = −7
√
5−22i.
o
23. Dados los números complejos α = 1−3i y β = 6+2i, calcula su producto αβ y las ráıces cuadradas
de ese producto.
Solución: El producto vale αβ = (1− 3i)(6 + 2i) = 6 + 2i− 18i+ 6 = 12− 16i. Para calcular su
ráız cuadrada podemos primero observar que hay un factor común 4 que simplifica las cuentas. Es
decir, αβ = 4(3− 4i), y por tanto las ráıces buscadas serán 2 por las ráıces de 3− 4i.
Para buscar esas ráıces necesitamos dos números reales a, b ∈ R con
3− 4i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
3 = a2 − b2
−4 = 2ab
Por la segunda ecuación tenemos ab = −2; multiplicando por x = a2 en la primera ecuación queda
3x = x2 − (ab)2 = x2 − 4, por lo que x2 − 3x− 4 = 0 y por tanto debe ser x = 4 ó x = −1, pero la
segunda opción se descarta pues x = a2 es un número real positivo. En consecuencia es a2 = x = 4
y por tanto a = ±2; como ab = −2 las ráıces de 3− 4i son 2− i y −2 + i.
Finalmente, las ráıces de αβ son el doble de esas, o sea 4− 2i y −4 + 2i.
Si no simplificamos el 4 sale algo similar con números mayores: primero un sistema
{
12 = a2 − b2
−16 = 2ab ,
de donde ab = −8, y de ah́ı la ecuación x2 − 12x− 64 = 0, de donde x = 16 (descartando x = −4);
por tanto a = ±4 y b = ∓2 y las ráıces de 12− 16i son 4− 2i y −4 + 2i.
o
24. Dado el número complejo 4− 6
√
5 i, expresa en la forma a+ bi (con a, b ∈ R) sus ráıces cuadradas
y el cubo de una de ellas.
Solución: Para las ráıces cuadradas buscamos a, b ∈ R con
4− 6
√
5 i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
4 = a2 − b2
−6
√
5 = 2ab
Por la segunda ecuación tenemos ab = −3
√
5; multiplicando por x = a2 en la primera ecuación
queda 4x = x2 − (ab)2 = x2 − 45, por lo que x2 − 4x− 45 = 0 y por tanto (resolviendo la ecuación
de 2 grado) debe ser x = 9 ó x = −5, pero la segunda opción se descarta pues x = a2 es un
número real positivo. En consecuencia es a2 = 9 y por tanto a = ±3; como ab = −3
√
5 las ráıces
son ±(3−
√
5 i).
Matemáticas de 1 , problemas 118 Alberto del Valle Robles
5 NÚMEROS COMPLEJOS
El cubo de 3−
√
5 i es
(
3−
√
5 i
)(
3−
√
5 i
)2
=
(
3−
√
5 i
)(
4− 6
√
5 i
)
= (12− 30)− (18 + 24)
√
5 i = −18− 22
√
5 i
.
o
25. Calcula α3, donde α es una cualquiera de las ráıces cuadradas de 20i− 21. (Nota:
√
841 = 29)
Solución: Para encontrar la ráız buscamos números complejos a+ bi (con a, b ∈ R) tales que
−21 + 20i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
a2 − b2 = −21
2ab = 20 ab = 10
Multiplicando por x = a2 en la primera ecuación queda x2− (ab)2 = −21x, o sea x2+21x−100 = 0
y por tanto (resolviendo la ecuación de 2 grado) debe ser x = 4 ó x = −25, pero la segunda opción
se descarta pues x = a2 es un número real positivo. En consecuencia es a2 = 4 y por tanto a = ±2;
como ab = 10 las ráıces son ±(2 + 5i).
El cubo de 2+5i es (2+5i)(2+5i)2 = (2+5i)(−21+20i) = (−42−100)+(40−105)i = −142−65i
(y por tanto el cubo de la otra ráız, −2− 5i, es 142 + 65i).
o
26. Calcula α5, donde α es la ráız cuadrada de 3− 4i que tiene parte real negativa.
Solución: Para encontrar la ráız buscamos números complejos a+ bi (con a, b ∈ R) tales que
3− 4i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
a2 − b2 = 3
2ab = −4 ab = −2
Multiplicando por x = a2 en la primera ecuación queda x2 − (ab)2 = 3x, o sea x2 − 3x − 4 = 0 y
por tanto (resolviendo la ecuación de 2 grado) debe ser x = 4 ó x = −1, pero la segunda opción
se descarta pues x = a2 es un número real positivo. En consecuencia es a2 = 4 y, como buscamos
la ráız cuya parte real a es negativa, se tiene a = −2 y por tanto b = 1, de modo que α = i− 2.
Entonces α5 = (α2)2α = (3− 4i)2(i− 2) = (−7− 24i)(i− 2) = 38 + 41i.
o
27. Dado el número complejo −40 + 42 i, expresa en la forma a + bi (con a, b ∈ R) sus dos ráıces
cuadradas y el producto de ambas.
Solución: Sin calcular nada sabemos que el producto de ambas debe ser 40−42i, pues si ω es una
de ellas (con ω2 = −40 + 42i) entonces la otra es −ω y el producto de ambas es −ω2 = 40− 42i.
Para encontrar la ráız buscamos números complejos a+ bi (con a, b ∈ R) tales que
−40 + 42i = (a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi ⇒
{
a2 − b2 = −40
2ab = 42 ab = 21
Matemáticas de 1 , problemas 119 Alberto del Valle Robles
5 NÚMEROS COMPLEJOS
Multiplicando por x = a2 en la primera ecuación queda x2− (ab)2 = −40x, o sea x2+40x−441 = 0
y por tanto (resolviendo la ecuación de 2 grado) debe ser x = 9 ó x = −49, pero la segunda opción
se descarta pues x = a2 es un número real positivo. En consecuencia es a2 = 9 y por tanto a = ±3;
como ab = 21 las ráıces son ±(3 + 7i).
o
28. Si α es una de las ráıces cuadradas de 8 + 6i y β es una de las ráıces cuadradas de 2i, expresa αβ
en la forma binomial a+ bi (a, b ∈ R).
Solución: Como el producto de ráıces es la ráız del producto, es mejor calcular primero el producto
(8+6i)(2i) = −12+16i = 4(−3+4i) y aśı se hace una sola ráız. Además el producto tiene un factor
4 que “sale de la ráız” y simplifica los cálculos. La ráız de −3 + 4i se calcula del modo estándar y
vale ±(1 + 2i) y por tanto los resultados válidos son ±2(1 + 2i), o sea ±(2 + 4i).
Algo más lento es calcular las ráıces de 8 + 6i, que son ±(3 + i), las de 2i, que son ±(1 + i), y
multiplicarlas para obtener ±(3 + i)(1 + i) = ±(2 + 4i).
o
29. Sabiendo que el número complejo α verifica α2 = −8−6i, calcula en forma binomial los dos posibles
valores que puede tomar α5.
Solución: Si α = a + bi con a, b ∈ R tenemos −8 − 6i = α2 = (a + bi)2 = (a2 − b2) + 2abi, o sea
a2−b2 = −8 y ab = −3. Multiplicando la primera igualdad por a2 y usando a2b2 = (ab)2 = (−3)2 =
9 obtenemos a4 + 8a2 − 9 = 0, bicuadrática con soluciones a2 = −4 ± 5. Descartando la negativa,
pues a ∈ R, nos queda a2 = 1 y por tanto a = ±1, por lo que b = ∓3. O sea, α = ±(1− 3i).
Es directo comprobar que, en efecto, α2 = −8− 6i. Entonces α2 = [−2(4 + 3i)]2 = 4(7 + 24i) y un
cálculo directo da entonces α5 = αα4 = ±4(1− 3i)(7 + 24i) = ±4(79 + 3i).
o
30. En el cuerpo de los números complejos, se pide:
(a) Calcula en forma binomial el cuadrado de α = 6 + 7i,
(b) Calcula en forma binomial todas las ráıces cuadradas de β = 13− 84i.
Solución: (a) Es directo, α2 = (6 + 7i)2 = 36− 49 + 84i = −13 + 84i.
(b) Si se observa que β = −α2 = (±i)2α2 = (±iα)2, tenemos directamente las ráıces: ±iα =
±(−7 + 6i).
Alternativamente, se puede usar el método estándar: buscamos a, b ∈ R con 13 − 84i = β =
(a+ bi)2 = (a2 − b2) + 2abi, o sea con a2 − b2 = 13 y ab = −42. Multiplicando la primera igualdad
por a2 y usando a2b2 = (ab)2 = (−42)2 = 422 obtenemos a4 − 13a2 − 422 = 0, bicuadrática con
soluciones
a2 =
13±
√
132 + 4 · 422
2
=
13± 85
2
Descartando la negativa, pues a ∈ R, nos queda a2 = 13+852 = 49 y por tanto a = ±7, por lo que
b = ∓6 y las ráıces cuadradas de β son ±(7− 6i).
o
Matemáticas de 1 , problemas 120 Alberto del Valle Robles