Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (41)

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6 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES DE UNA VARIABLE (BÁSICO)
6. NÚMEROS REALES Y FUNCIONES DE UNA VARIABLE (BÁSI-
CO)
1. Define el seno y el coseno de un ángulo α. (Debes dar una definición que valga para cualquier valor
de α, en particular que incluya los casos de senos y cosenos con valores negativos).
Solución: Fijados unos ejes cartesianos, representamos el ángulo α de forma que su primera
semirrecta sea el eje horizontal positivo. La otra semirrecta corta a la circunferencia de radio 1 y
centrada en el origen en cierto punto (c, s). Entonces el seno de α es el valor s de la coordenada
vertical de ese punto, y el coseno de α es el valor c de su coordenada horizontal.
Obsérvese que la definición “longitud cateto opuesto/contiguo dividida por la longitud de la hipo-
tenusa” se queda corta, pues sólo vale para ángulos entre 0 y π/2 (recto).
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2. En R: ¿Cuántas ráıces cúbicas tiene un número no nulo? ¿Cuántas ráıces cuartas tiene?
En C: ¿Cuántas ráıces cúbicas tiene un número no nulo? ¿Cuántas ráıces cuartas tiene?
Solución: En los reales, todos los números tienen una única ráız cúbica; los números positivos
tienen dos ráıces cuartas (una opuesta de la otra) y los números negativos no tienen ninguna.
En los complejos, todos los números no nulos tienen tres ráıces cúbicas y cuatro ráıces cuartas.
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3. ¿Cómo puede construirse la gráfica de y = f(x+ 2) a partir de la de y = f(x)?
Solución: Basta con desplazarla 2 unidades hacia la izquierda.
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4. ¿Cómo puede construirse la gráfica de y = f(2x) a partir de la de y = f(x)?
Dibuja las gráficas de y = sen(x) y de y = sen(2x) en el intervalo [−π, π]
Solución: Basta con “encoger” la gráfica original a la mitad en horizontal.
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5. En general, ¿cómo puede construirse la gráfica de y = f(x/2) a partir de la de y = f(x)?
Dibuja las gráficas de y = cos(x) y de y = cos(x/2) en el intervalo [−π, π].
Solución: Basta con “estirar” la gráfica original al doble en horizontal.
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Matemáticas de 1 , problemas 121 Alberto del Valle Robles
6 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES DE UNA VARIABLE (BÁSICO)
6. ¿Cómo se sabe si una función f(x) tiene una aśıntota oblicua cuando x → +∞? ¿Cómo se calcula
la ecuación de esa aśıntota?
Solución: La tiene cuando existen los ĺımites m = ĺım
x→+∞
f(x)
x
y b = ĺım
x→+∞
[f(x)−mx], y en ese
caso la ecuación de la aśıntota es y = mx+ b.
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7. Para las siguientes funciones, di si tienen aśıntotas verticales u horizontales y, en su caso, di cuáles
son y “por qué lado se la pega” la función: ex ln(x) sen(x) tan(x).
[No hay que justificar las afirmaciones ni se trata de dibujar las gráficas, sino de conocer las funciones
y saber usar el lenguaje de las aśıntotas para describir esas gráficas.]
Solución: ex tiene a y = 0 como aśıntota horizontal por la izquierda, a la que se pega por arriba,
y no tiene aśıntotas verticales.
ln(x) tiene a x = 0 como aśıntota vertical por abajo, a la que se pega por la derecha (por la izquierda
no está definida), y no tiene aśıntotas horizontales.
sen(x) no tiene aśıntotas de ningún tipo.
tan(x) tiene aśıntotas verticales en x = ±π/2, x = ±3π/2, x = ±5π/2, etc., a las que se pega por
arriba a la izquierda y por abajo a la derecha, y no tiene aśıntotas horizontales.
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8. ¿Qué significa que una función f : R → R sea par? ¿Y que sea impar? ¿Y que sea periódica? En los
tres casos, da una respuesta en términos algebraicos (o sea, en términos de “la fórmula de f(x)”) y
otra en términos geométricos (de la gráfica de y = f(x)).
Solución: La función es par cuando verifica f(−x) = f(x) para todos los valores x ∈ R, y esto se
traduce en que la gráfica sea simétrica con respecto al eje vertival.
Es impar cuando verifica f(−x) = −f(x) para todos los x ∈ R, y esto se traduce en que la gráfica
sea simétrica con respecto al origen de coordenadas.
Y es periódica cuando existe un “periodo” P > 0 tal que f(x+ P ) = f(x) para cada x ∈ R, lo que
se traduce en que la gráfica “se repite a śı misma” en intervalos horizontales de longitud P .
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9. ¿Qué relación hay entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa? Esboza la gráfica de
f(x) = e−x y la de su inversa. ¿Cuál es la expresión de esa inversa? ¿Qué dominio tiene?
Solución: La gráfica de una función y la de su inversa son simétricas con respecto a la diagonal
principal del plano (recta y = x).
La función la podemos escribir como f(x) = 1/ex = (1/e)x, cuya inversa es g(x) = log1/e(x). Las
gráficas están en los apuntes para el caso 0 < b < 1. El dominio de la inversa es (0,+∞).
Matemáticas de 1 , problemas 122 Alberto del Valle Robles
6 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES DE UNA VARIABLE (BÁSICO)
Para el cálculo de la expresión de la inversa también podemos poner y = e−x y depejar x: tomando
logaritmos es ln(y) = −x y aśı x = − ln(y) = ln(1/y). Por tanto, como expresiones de la inversa
también valen g(x) = − ln(x) o g(x) = ln(1/x).
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10. ¿Qué condición geométrica (de simetŕıa) cumple la gráfica de una función impar?
¿Qué relación hay entre la gráfica de una función y la gráfica de su función inversa?
¿Qué función es la inversa de f(x) = x3 ? Dibuja las gráficas de f(x) y de esa función inversa.
Solución: La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.
La gráfica de una función y la de su inversa son simétricas con respecto a la diagonal principal del
plano (recta y = x). La función inversa de f(x) = x3 es f−1(x) = 3
√
x. La gráfica de y = x3 es la de
la izquierda, y la de y = 3
√
x es la de la derecha: su simétrica con respecto a la diagonal.
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11. Da ejemplos de funciones reales de una variable con las siguientes condiciones (sin justificar):
a) Una función impar y periódica con aśıntotas verticales.
b) Una función par y periódica sin aśıntotas verticales ni horizontales.
c) Una función con aśıntotas horizontales y verticales.
d) Una función con aśıntota horizontal “por la izquierda” y decreciente en todos sus puntos.
Solución: Por ejemplo, en este orden, tan(x), cos(x), 1/x y −ex (o de nuevo 1/x).
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Matemáticas de 1 , problemas 123 Alberto del Valle Robles
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