Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (42)

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6 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES DE UNA VARIABLE (BÁSICO)
12. Responde brevemente las siguientes preguntas:
a) ¿Qué significa (definición + interp. geométrica) que una función f : R → R sea impar?
b) ¿Qué significa que una función f : R → R alcance un mı́nimo relativo en x = b?
c) ¿Es posible dar un ejemplo de una función que alcance un mı́nimo relativo en x = 0 y que no
sea derivable en x = 0?
Solución: a) Significa que para cada x ∈ R se tiene f(−x) = −f(x), y se traduce en que la gráfica
es simétrica con respecto al origen.
b) Significa que para los puntos x “cercanos” a b (o sea, en un intervalo del tipo (b− r, b+ r) con
r > 0) se tiene f(b) ≤ f(x).
c) Śı. Por ejemplo, la función valor absoluto, f(x) = |x|.
o
13. Define las funciones hiperbólicas (seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica) a
partir de la función ex. Simplifica cuanto puedas la expresión cosh2(x)−senh2(x). Simplifica cuanto
puedas la expresión (ex/ cosh(x))− 1.
Solución: En los apuntes (página 84) se definen y se ve que cosh2(x)− senh2(x) = 1 sin más que
desarrollar las expresiones y operar. Expĺıcitamente:
senh(x) =
ex − e−x
2
cosh(x) =
ex + e−x
2
tanh(x) =
senh(x)
cosh(x)
cosh2(x)− senh2(x) = e
2x + e−2x + 2
4
− e
2x + e−2x − 2
4
=
4
4
= 1
Por otra parte:
ex
cosh(x)
− 1 = 2e
x
ex + e−x
− 1 = 2e
x − ex − e−x
ex + e−x
=
ex − e−x
ex + e−x
= tanh(x)
o
14. Comenta las analoǵıas y las diferencias que conozcas entre las funciones trigonométricas (sen(x) y
cos(x)) y las funciones hiperbólicas (senh(x) y cosh(x)).
[Piensa en sumas/restas de cuadrados, simetŕıa, acotación, periodicidad, derivadas, Maclaurin. . . ]
Solución: Sumas/restas de cuadrados: Se verifican identidades parecidas, sen2(x) + cos2(x) = 1
(o sea, el par (cos(x), sen(x)) está en la circunferencia “estándar” de ecuación x2 + y2 = 1) y
cosh2(x)− senh2(x) = 1 (o sea, el par (cos(x), sen(x)) está en la hipérbola “estándar” de ecuación
x2 − y2 = 1).
Simetŕıa: en ambos casos (trigonométrico e hiperbólico), el seno es impar y el coseno es par.
Acotación: el seno y el coseno trigonométricos están acotados (toman valores entre −1 y 1); los
hiperbólicos no lo están (el seno hiperbólico toma todos los valores reales, el coseno hiperbólico
toma todos los valores reales positivos).
Matemáticas de 1 , problemas 124 Alberto del Valle Robles
6 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES DE UNA VARIABLE (BÁSICO)
Periodicidad: las funciones trigonométricas (seno y coseno) son periódicas (de periodo π); las hi-
perbólicas no lo son.
Las derivadas funcionan de forma parecida, pero en el caso hiperbólico no hay cambios de signo.
Expresamente, las derivadas de sen(x) y cos(x) son, respectivamente, cos(x) y − sen(x), mientras
que las derivadas de senh(x) y cosh(x) son, respectivamente, cosh(x) y senh(x).
Los desarrollos de Maclaurin son iguales salvo en los signos: en el seno y el coseno trigonométricos
aparecen signos alternados, en los hiperbólicos los signos siempre son positivos.
o
Matemáticas de 1 , problemas 125 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
7. UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
1. Dada una función f : R → R y dado un punto a ∈ R, se pide:
a) Di qué significa que f sea derivable en x = a.
b) Define el valor de la derivada f ′(a).
c) Explica la relación de lo anterior con la recta tangente a la gráfica de y = f(x) por el punto
(a, f(a)).
Solución: a) Que exista con valor finito el ĺımite cuando x → a del cociente f(x)− f(a)
x− a .
b) f ′(a) es el valor de ese ĺımite.
c) El cociente
f(x)− f(a)
x− a es la pendiente de la recta que pasa por (a, f(a)) y por (x, f(x)), o
sea la recta secante a la curva y = f(x) por esos puntos. Cuando x se aproxima hacia a, esas
rectas secantes se aproximan a la recta tangente a la curva por x = a, aśı que f ′(a) (ĺımite de
esos cocientes cuando x → a) es la pendiente de esa recta tangente, cuya ecuación es por tanto
y − f(a) = m(x− a), donde m = f ′(a).
o
2. Dada una función f : R → R, consideramos dos afirmaciones: C) f es continua en x = 0. D) f
es derivable en x = 0. Una de las implicaciones C⇒D ó D⇒C es verdadera; indica cuál. La otra
es falsa; da un ejemplo que lo muestre.
Solución: La Proposición 6.1.2 y el comentario que la precede nos dicen que D⇒C es verdadera y
que C⇒D es falsa, y para justificar esto último se proponen los ejemplos f(x) = |x| y f(x) = sen(|x|).
o
3. Una función f : R → R tiene un punto cŕıtico en x = a, o sea f ′(a) = 0.
¿Cómo se puede saber, en función de las derivadas sucesivas f ′′(a), f ′′′(a). . . si f alcanza en x = a
un punto de inflexión, un mı́nimo relativo o un máximo relativo?
Solución: Si la primera de esas derivadas sucesivas con valor NO nulo es de orden par (o sea,
la derivada segunda, cuarta. . . ) entonces alcanza un máximo relativo si ese valor es negativo y
alcanza un mı́nimo relativo si ese valor es positivo. Si la primera de esas derivadas sucesivas con
valor NO nulo es de orden impar (o sea, la derivada tercera, quinta. . . ) entonces alcanza un punto
de inflexión.
o
Matemáticas de 1 , problemas 126 Alberto del Valle Robles
	UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD