Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (43)

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7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
4. Una función f : R → R verifica f(7) = 334, f ′(7) = 0 y f ′′(7) = 0. ¿Qué puedes decir (en términos
de crecimiento, extremos, inflexión. . . ) si además sabes que f ′′′(7) = 1? ¿Y si lo que sabes es que
f ′′′(7) = 0 y f ′′′′(7) = 31? ¿Y si lo que sabes es que f ′′′(7) = 0 y f ′′′′(7) = −π?
Solución: Hay que usar el comentario que hay al final de la página 108 de los apuntes. En el
primer caso la primera de las derivadas sucesivas que no se anula en a = 7 es la tercera, de orden
impar, luego f tiene en a = 7 un punto de inflexión. En los otros dos casos eso ocurre en la cuarta
derivada, de orden par, por lo que en el segundo caso f alcanza un mı́nimo relativo en a = 7 (al ser
positivo el valor de la derivada cuarta) y en el tercero alcanza un máximo relativo.
o
5. Esboza la gráfica sobre el intervalo [−π, π] de la función f(x) = sen(x) y la de su derivada, y comenta
la relación entre ambas en términos de crecimiento y extremos relativos (puedes usar también la
derivada segunda, sin necesidad de dibujarla).
Solución: Las gráficas de f(x) = sen(x) y de f ′(x) = cos(x) están en los apuntes; además se tiene
f ′′(x) = − sen(x). Se observa, de acuerdo con la teoŕıa general, que:
En el intervalo (−π/2, π/2), donde la derivada f ′(x) es positiva, la función f(x) es creciente.
En los intervalos (−π,−π/2) y (π/2, π) la derivada es negativa y la función es decreciente.
En el punto x = −π/2, donde la derivada se anula y la derivada segunda es positiva, la función
f(x) alcanza un mı́nimo relativo.
En el punto x = π/2, donde la derivada se anula y la derivada segunda es negativa, la función
f(x) alcanza un máximo relativo.
o
6. Esboza las gráficas de y = sen(x) y de y = cos(x) para valores de x entre 0 y 2π. Comenta la
relación entre el crecimiento de la primera y el signo de la segunda.
Solución: Las gráficas están en los apuntes. La segunda es la derivada de la primera, por lo que
valores positivos de la segunda deben corresponder a zonas de crecimiento de la primera, y en los
valores negativos de la segunda la primera debe ser decreciente.
Esto se ve bien en las gráficas: En los intervalos (0, π/2) y (3π/2, π) la segunda es positiva y la
primera crece. En (π/2, 3π/2) la segunda es negativa y la primera decrece.
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7. Dada la función f(x)=sen(2x), esboza las gráficas de y=f(x) y de y=f ′(x) en [0, 2π] y comenta
la relación que se observa entre el crecimiento/decrecimiento de f(x) y el signo de f ′(x).
Comenta también la relación entre la convexidad/concavidad de f(x) y el signo de f ′′(x).
Solución: La gráfica de y = sen(2x) en [2, π] se puede dibujar comprimiendo en horizontal por un
factor 2 la de y = sen(x) en [0, 4π], que es bien conocida, y la de y = f ′(x) = 2 cos(2x) se dibuja
comprimiendo en horizontal y expandiendo en vertical la de y = cos(x).
Matemáticas de 1 , problemas 127 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
Se observa entonces que se cumple el resultado teórico: f(x) empieza creciendo en (0, π/4), donde
f ′(x) es positiva; f(x) decrece luego en (π/4, 3π/4), donde f ′(x) es negativa; vuelve a crecer en
(3π/4, 5π/4), donde la derivada vuelve a ser positiva, etcétera.
Por otra parte se tiene f ′′(x) = −4 sen(x) = −4f(x), y se confirma el resultado teórico: f(x)
empieza siendo cóncava (tangentes por encima) en (0, π/2), justo cuando cuando f ′′(x) es negativa
(por ser f(x) positiva); se hace convexa (tangentes por debajo) en (π/2, π), cuando f ′′(x) es positiva,
etcétera.
o
8. Indica las derivadas de las funciones x3 − x, sen(x), tan(x) y senh(x).
En vista de los resultados, ¿puedes intuir alguna relación general entre una función y su derivada,
en términos de propiedades de simetŕıa de sus gráficas?
Solución: Las derivadas son 3x2−1, cos(x), 1+tan2(x) y cosh(x). Las funciones dadas son impares
y sus derivadas son pares. En general, la derivada de una función impar es par (y viceversa).
La explicación de esto, que no se pide, es que si f(x) es impar, o sea si f(−x) = −f(x), entonces
derivando ambos miembros de la igualdad (y aplicando la regla de la cadena en el primero) se tiene
f ′(−x) · (−1) = −f ′(x), y cambiando los signos f ′(−x) = f ′(x), por lo que la función f ′(x) es par.
o
9. Para cada una de las siguientes funciones:
f(x) = x3 − x g(x) = cos(x) h(x) = tan(x) j(x) = ex k(x) = senh(x)
indica si es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Calcula sus derivadas e indica también si son pares, impares o ninguna de las dos cosas.
En vista de los resultados, ¿puedes intuir alguna relación general entre una función y su derivada,
en términos de propiedades de simetŕıa de sus gráficas?
Solución: f(x), h(x) y k(x) son impares, g(x) es par y j(x) no es ninguna de las dos cosas (apuntes,
Sección 4.4.3 “Gráficas de las funciones trigonométricas”, Sección 5.2.1 “Funciones polinómicas”,
Sección 5.2.3 “Funciones exponenciales y logaŕıtmicas” y Sección 5.2.4 “Funciones hiperbólicas y
sus inversas”).
Usando las mismas secciones de los apuntes o un cálculo directo se ve que las derivadas f ′(x) =
3x2 − 1, h′(x) = 1 + / tan2(x) y k′(x) = cosh(x) son pares, que g′(x) = − sen(x) es impar y que
j′(x) = ex no es ninguna de las dos cosas.
Los resultados parecen sugerir que, en general, la derivada de una función impar es par, y viceversa.
Esto es cierto y su explicación, que no se pide, es que si f(x) es por ejemplo par, o sea si f(−x) =
f(x), entonces derivando ambos miembros de la igualdad (y aplicando la regla de la cadena en el
primero) se tiene f ′(−x) · (−1) = f ′(x), y cambiando los signos f ′(−x) = −f ′(x), por lo que la
función f ′(x) es impar.
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Matemáticas de 1 , problemas 128 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
10. Determina los valores b, c sabiendo que la parábola y = x2 + bx+ c tiene a y = 9x− 1 como recta
tangente por el punto de abcisa x = 2.
Solución: El punto de abcisa x = 2 de la recta es P = (2, 17). Este punto está también en la
parábola, luego satisface su ecuación, o sea 17 = 4 + 2b+ c, ó 2b+ c = 13.
Por otra parte la pendiente de la recta es 9, luego ese debe ser el valor de la derivada de la parábola
(y′ = 2x+ b) en x = 2, lo que nos da 9 = 4 + b. Por tanto b = 5 y c = 3.
o
11. Determina los valores b, c sabiendo que la parábola y = x2 + bx+ c tiene a y = 5x− 12 como recta
tangente por el punto de abcisa x = 4.
Solución: La recta y la parábola coinciden en el punto con x = 4, para el que se tiene y = 8 en
vista de la ecuación de la recta. Por tanto el punto P = (4, 8) está en la parábola, luego satisface
su ecuación, o sea 8 = 16 + 4b+ c, ó 4b+ c = −8.
Por otra parte la pendiente de la recta es 5, luego ese debe ser el valor de la derivada de la parábola
(y′ = 2x+ b) en x = 4, lo que nos da 5 = 8 + b. Por tanto b = −3 y c = 4.
o
12. Determina los valores b, c sabiendo que, para el punto de abcisa x = 4, la gráfica de la función
f(x) = x3 + bx2 + cx− 50 presenta a la vez un corte con el eje horizontal y un extremo relativo.
Solución: Las condiciones implican que tanto la función f(x) = x3+bx2+cx−50 como su derivada
f ′(x) = 3x2 + 2bx+ c se anulan para x = 5, o sea que se tiene
64 + 16b+ 4c− 50 = 0 y 48 + 8b+ c = 0
La primera ecuación se reescribe como 7 + 8b + 2c = 0, y al restarla de la segunda se obtiene
41− c = 0, o sea c = 41 y por tanto b = (−7− 82)/8 = −89/8.
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13. Calcula a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 16 + ax+ bx3 por el
punto de abcisa x = 1 es 9x+ y = 14.
Solución: En la recta 9x+ y = 14, el punto con abcisa x = 1 es (1, 5), que debe estar en la gráfica
de y = f(x) porque son tangentes en ese punto. Por tanto debe ser 5 = f(1) = 16 + a+ b.
Además la pendiente de esta recta, o sea −9, es la derivada de f en x = 1. Como f ′(x) = a+3bx2,
lo anterior nos dice que −9 = f ′(1) = a+ 3b.
Resolviendo el sencillo sistema se obtienen los valores pedidos: a = −12, b = 1.
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Matemáticas de 1 , problemas129 Alberto del Valle Robles