Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (52)

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9 UNA VARIABLE: GRÁFICAS (*)
La derivada f ′(x) = x cos(x) se anula en x = 0 y en x = π/2, es positiva (gráfica creciente)
en el intervalo (0, π/2) y negativa (gráfica decreciente) en (π/2, π). Además la derivada segunda
f ′′(x) = cos(x)−x sen(x) vale f ′′(0) = 1 y f ′′(π/2) = −π/2, luego hay un mı́nimo relativo en x = 0
y un máximo relativo en x = π/2. En conclusión, la gráfica es aproximadamente:
✲
✻
−π π
π
2
−1q
q q q
q
o
4. Representa gráficamente la función f(x) =
x3
x2 − 1
Solución: El dominio es todo R excepto los puntos x = ±1. Es una función impar, y sólo corta al
eje horizontal en P = (0, 0). Es positiva en los intervalos (−1, 0) y (1,+∞), y negativa en (−∞,−1)
y (0, 1). Tiene dos aśıntotas verticales x = −1 y x = 1, y una aśıntota oblicua y = x. Su derivada es
f ′(x) =
x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2 , por lo que hay puntos cŕıticos en x = 0 y en x = ±
√
3. Es una función creciente
en los intervalos (−∞,−
√
3) y (
√
3,+∞), y decreciente en (−
√
3,
√
3), por lo que en P = (0, 0) no
hay extremo relativo, en Q1 = (
√
3, 3
√
3
2 ) hay un mı́nimo relativo y en Q2 = (−
√
3, −3
√
3
2 ) hay un
máximo relativo. La derivada segunda vale f ′′(x) =
2x(x2 + 3)
(x2 − 1)3 , luego f es cóncava en los intervalos
(−1, 0) y (1,+∞), y convexa en (−∞,−1) y (0, 1). En particular, se pega a la aśıntota oblicua por
arriba cuando x → +∞ y por debajo cuando x → −∞.
✲
✻
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Matemáticas de 1 , problemas 154 Alberto del Valle Robles
9 UNA VARIABLE: GRÁFICAS (*)
o
5. Representa gráficamente las curvas y = x3−12x e y = x2, y calcula el área del recinto que encierran.
Solución: Sobre la gráfica de y = x2 no hay mucho que decir. La otra es impar, con ĺımite infinito
cuando x → ∞. Corta al eje en x = 0 y en x = ±
√
12 y es positiva en los intervalos (−
√
12, 0) y
(
√
12,+∞). Como y′ = 3x2−12 = 3(x2−4), la función crece en los intervalos (−∞,−2) y (2,+∞),
y decrece en (−2, 2), por lo que presenta un máximo en x = −2 (con y = 16) y un mı́nimo en x = 2
(con y = −16). Como y′′ = 6x, la gráfica es convexa en (−∞, 0) y cóncava en (0,+∞), y tiene un
punto de inflexión cuando x = 0 (con y = 0).
Las dos gráficas se cortan cuando x3 − 12x = x2, o sea cuando 0 = x3 − x2 − 12x = x(x2 − x− 12),
lo que ocurre para x = 0 (con y = 0), para x = −3 (con y = 9) y para x = 4 (con y = 16).
Las gráficas superpuestas tienen pues este aspecto (ojo a la escala de los ejes):
✻
✲
4
8
12
16
2 4
r
r
r
r
r
r
r
y=x2
y=x3−12x
−
√
12
(−3,9)
(4,16)
(−2,16)
(2,−16)
El recinto que encierran tiene pues dos partes (izquierda y derecha) con áreas respectivas
∫ 0
−3
(x3 − 12x− x2)dx =
[
x4
4
− 6x2 − x
3
3
]0
−3
=
−81
4
+ 54− 9 = 99
4
∫ 4
0
(x2 − x3 + 12x)dx =
[
x3
3
− x
4
4
+ 6x2
]4
0
=
64
3
− 64 + 96 = 160
3
por lo que área total es de 99/4 + 160/3 = 937/12.
o
6. Representa gráficamente la curva de ecuación y =
x
lnx
.
Solución: El dominio consiste en los números reales positivos (para que tenga sentido lnx) excepto
el 1 (para no dividir por 0). Como el numerador es positivo, la función tiene el mismo signo que el
Matemáticas de 1 , problemas 155 Alberto del Valle Robles
9 UNA VARIABLE: GRÁFICAS (*)
denominador, y por tanto es negativa en el intervalo (0, 1) y positiva en (1,+∞). Es claro que la
recta x = 1 es una aśıntota vertical, mientras que cerca de x = 0 se tiene
ĺım
x→0+
y = ĺım
x→0+
x
lnx
=
0
−∞ = 0
No hay aśıntotas horizontales ni oblicuas pues
ĺım
x→+∞
y = ĺım
x→+∞
=
x
lnx
=
(∞
∞
)
= ĺım
x→+∞
=
1
1/x
= ĺım
x→+∞
x = +∞
ĺım
x→+∞
y
x
= ĺım
x→+∞
=
1
lnx
=
1
∞ = 0
La derivada y′ =
ln(x)− 1
ln2 x
se anula para x = e, es negativa para x < e y es positiva para x > e,
lo que nos da los intervalos de crecimiento de la función y nos asegura que en x = e se alcanza un
mı́nimo relativo con valor y = e. La derivada segunda vale
y′′ =
1
x ln(x)− (ln(x)− 1)2 1x
ln3 x
=
2− ln(x)
x ln3 x
y estudiando su signo se deduce que la función es convexa en el intervalo (0, 1), cóncava en (1, e2)
y de nuevo convexa en (e2,+∞), por lo que hay un punto de inflexión en x = e2 (con y = e2/2).
Con todos estos datos podemos esbozar la gráfica:
✲
✻
r
r
o
7. Representa gráficamente la función f(x) = e−x(x2 + 2x+ 1).
Solución: El dominio es todo R, y por tanto no hay aśıntotas verticales.
Como e−x > 0 y x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0, la función es siempre positiva y sólo vale 0 cuando
x = −1. Por tanto, el corte con el eje horizontal es A = (−1, 0). El corte con el eje vertical es
B = (0, f(0)) = (0, 1).
Matemáticas de 1 , problemas 156 Alberto del Valle Robles