Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (60)

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11 UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN
3. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 4 de las funciones f(x)=sen2(x) y g(x)=cos2(x).
Solución: El polinomio de grado 4 de sen(x) es x− 16 x3.
Elevando al cuadrado y truncando en grado 4 (o sea, borrando los términos de grado mayor que 4,
como en el Ejercicio 7.3.4) se obtiene el de sen2(x), que es por tanto
(
x− 1
6
x3
)2
= x2 − 2x 1
6
x3 +
1
36
x6 x2 − 1
3
x4
El polinomio de cos2(x) se puede obtener análogamente a partir de 1 − 1
2
x2 +
1
24
x4, pero es más
sencillo usar que cos2(x) = 1− sen2(x) para obtener el polinomio 1− x2 + 1
3
x4.
Se pueden obtener también “por la definición”, calculando derivadas y evaluando en el 0; por
ejemplo:
- g(x) = cos2(x), g(0) = 1.
- g′(x) = −2 cos(x) sen(x), g′(0) = 0.
- g′′(x) = 2 sen2(x)− 2 cos2(x), g′(0) = −2.
- g′′′(x) = 4 sen(x) cos(x) + 4 cos(x) sen(x) = 8 cos(x) sen(x), g′′′(0) = 0.
- giv(x) = −8 sen2(x) + 8 cos2(x), giv(0) = 8.
Entonces cos(x) ∼= g(0) + g′(0) + 12 g′′(0) + 16 g′′′(0) + 124 giv(0) = 1− x2 + 13 x4
o
4. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función f(x) = cos2(x)− sen2(x).
Solución: Se puede hacer de la forma usual, calculando derivadas sucesivas de f , evaluando en
x = 0 y aplicando la fórmula. Alternativamente, se pueden usar los polinomios conocidos (hasta
grado 4):
cos(x) ≈ 1− 1
2
x2 +
1
24
x4 y sen(x) ≈ x− 1
6
x3
y a partir de ellos se obtienen, elevando al cuadrado y truncando en grado 4:
cos2(x) ≈ 1 + 1
4
x4 − x2 + 1
12
x4 y sen2(x) ≈ x2 − 1
3
x4
Finalmente, restando se obtiene cos2(x)− sen2(x) ≈ 1− 2x2 + 2
3
x4.
o
5. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 4 de f(x) = sen(x) ln(1 + x).
Solución: Conocemos los polinomios de grado 4 de ambos factores:
sen(x) ≈ x− 1
6
x3 y ln(1 + x) ≈ x− 1
2
x2 +
1
3
x3 − 1
4
x4
y basta con multiplicarlos truncando en grado 4 para obtener el resultado x2 − 1
2
x3 +
1
6
x4.
o
Matemáticas de 1 , problemas 178 Alberto del Valle Robles
11 UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN
6. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 5 de f(x) = tan(x).
Solución: Se puede hacer una división como en los apuntes con los desarrollos del seno y del
coseno.
Otra opción consiste en aplicar la definición calculando las derivadas sucesivas, evaluándolas en
x = 0 y dividiendo por el correspondiente factorial. Escribimos para simplificar t = tan(x), de
modo derivar se tiene t′ = 1 + t2 y al evaluar en x = 0 se tiene t = 0 y t′ = 1.
f(x) = t f(0) = 0
f ′(x) = t′ = 1 + t2 f ′(0) = 1
f ′′(x) = (1 + t2)′ = 2tt′ = 2t(1 + t2) = 2t+ 2t3 f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = (2t+2t3)′ = 2t′+6t2t′ = (2+6t2)(1+t2) = 2+8t2+6t4 f ′′′(0) = 2 f ′′′(0)/3! =
1/3
f iv(x) = (2+8t2+6t4)′ = 16tt′+24t3t′ = (16t+24t3)(1+ t2) = 16t+40t3+24t5 f iv(0) = 0
fv(x) = (16t+ 40t3 + 24t5)′ = 16t′ + 120t2t′ + 120t4t′ fv(0) = 16 fv(0)/5! = 2/15
Por tanto el polinomio de Maclaurin pedido es P4(x) = x +
1
3
x3 +
2
15
x5. Como era de esperar,
dado que f(x) es una función impar, el polinomio solo tiene coeficientes de grado impar.
o
7. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 5 de f(x) =
1 + 2x
1 + 3x
.
Solución: Se puede hacer una división como la de los apuntes, o aplicar la definición calculando
las derivadas sucesivas, evaluándolas en x = 0 y dividiendo por el correspondiente factorial. Esta
segunda opción seŕıa aśı:
f(x) =
1 + 2x
1 + 3x
 f(0) = 1
f ′(x) =
2(1 + 3x)− 3(1 + 2x)
(1 + 3x)2
=
−1
(1 + 3x)2
= −(1 + 3x)−2 f ′(0) = −1
f ′′(x) = 2 · 3(1 + 3x)−3 f ′′(0) = 2 · 3 f ′′(0)/2! = 3
f ′′′(x) = −3 · 2 · 32(1 + 3x)−4 f ′′′(0) = −3 · 2 · 32 f ′′′(0)/3! = −32
f iv(x) = 4! · 33(1 + 3x)−5 f iv(0) = 4!33 f iv(0)/4! = 33
fv(x) = −5! · 34(1 + 3x)−6 fv(0) = −5! · 34 fv(0)/5! = −34
Por tanto el polinomio de Maclaurin pedido es P5(x) = 1− x+ 3x3 − 9x3 + 27x4 − 81x5.
o
Matemáticas de 1 , problemas 179 Alberto del Valle Robles
11 UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN
8. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 4 de f(x) =
1 + 3x
1 + 2x
.
Solución: Se puede hacer una división como la de los apuntes.
Otra opción consiste en usar el polinomio de 1(1 + x) ≈ 1− x+ x2 − x3 + x4 y por tanto
1
1 + 2x
≈ 1− 2x+ 22x2 − 23x3 + 24x4 − 25x5 + · · ·
Haciendo el producto por 1+3x truncado en grado 4 se obtiene el resultado: 1+x−2x2+4x3−8x4.
También se puede observar que f(x) = 1 +
x
1 + 2x
, con lo que se obtiene la constante 1 más el
polinomio de 1/(1+2x) (calculado arriba) multiplicado por x, lo que nos da (para grado arbitrario)
1 + x− 2x2 + 22x3 − 23x4 + 24x5 − 25x6 + · · ·
Una cuarta opción consiste en aplicar la definición calculando las derivadas sucesivas, evaluándolas
en x = 0 y dividiendo por el correspondiente factorial:
f(x) =
1 + 3x
1 + 2x
 f(0) = 1
f ′(x) =
3(1 + 2x)− 2(1 + 3x)
(1 + 2x)2
=
1
(1 + 2x)2
= (1 + 2x)−2 f ′(0) = 1
f ′′(x) = −22(1 + 2x)−3 f ′′(0) = −22 f ′′(0)/2! = −2
f ′′′(x) = 23 · 3(1 + 2x)−4 f ′′′(0) = 23 · 3 f ′′′(0)/3! = 22
f iv(x) = −24 · 3 · 4(1 + 2x)−5 f iv(0) = −24 · 3 · 4 f iv(0)/4! = −23
Por tanto el polinomio de Maclaurin pedido es P4(x) = 1 + x− 2x2 + 22x3 − 23x4.
o
9. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 4 de f(x) =
3x+ 10
x+ 1
.
Solución: Opción 1: Calculamos las derivadas sucesivas y sus valores en x = 0, además de f(0) =
10:
f ′(x) =
3(x+ 1)− (3x+ 10)
(x+ 1)2
=
−7
(x+ 1)2
= −7(x+ 1)−2 f ′(0) = −7
f ′′(x) = 2 · 7(x+ 1)−3 f ′′(0) = 2 · 7
f ′′′(x) = −3! · 7(x+ 1)−4 f ′′′(0) = −3! · 7
f ′′′′(x) = 4! · 7(x+ 1)−5 f ′′′′(0) = 4! · 7
Por tanto el polinomio de Maclaurin de grado 4 es P (x) = 10− 7x+ 7x2 − 7x3 + 7x4.
Opción 2: Observamos que f(x) =
3x+ 3 + 7
x+ 1
= 3 + 7
1
x+ 1
, y como sabemos que el polinomio
de grado 4 de 1/(x + 1) es 1 − x + x2 − x3 + x4, no tenemos más que sustituirlo para obtener el
resultado.
Opción 3: Dividir como se indica en los apuntes.
o
Matemáticas de 1 , problemas 180 Alberto del Valle Robles