Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (62)

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11 UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN
16. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 3 de la función f(x) = x ln(1+ x), y úsalo para dar un
valor aproximado de ln(1,1).
Solución: Se tiene:
f ′(x) = ln(1 + x) + x(1 + x)−1
f ′′(x) = (1 + x)−1 + (1 + x)−1 − x(1 + x)−2 = 2(1 + x)−1 − x(1 + x)−2
f ′′′(x) = −2(1 + x)−2 − (1 + x)−2 + 2x(1 + x)−3 = −3(1 + x)−2 + 2x(1 + x)−3
y por tanto
f(0) = 0 f ′(0) = 0 f ′′(0) = 2 f ′′′(0) = −3
de manera que el polinomio pedido es
P (x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2
x2 +
f ′′′(0)
6
x3 = x2 − 1
2
x3
Para x = 0,1 se tiene
0,1 ln(1,1) = f(0,1) ≈ P (0,1) = 0,01− 0,0005 = 0,0095
y multiplicando por 10 queda ln(1,1) ≈ 0,095.
o
17. Dada la función f(x) = ln(1 + x+ x2), se pide:
a) Calcula las expresiones generales de sus tres primeras derivadas, f ′(x), f ′′(x) y f ′′′(x).
b) Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 3 de f(x).
c) Usa ese polinomio para obtener un valor aproximado de ln(1, 11).
Solución: Calculamos las derivadas (cuidado al aplicar la regla de la cadena!) usando la notación
exponencial, derivando productos y sacando factor común la potencia más baja de (1 + x + x2),
aunque también se pueden hacer derivando cocientes y simplificando potencias de (1 + x+ x2):
f ′(x) =
1 + 2x
1 + x+ x2
= (1 + x+ x2)−1(1 + 2x)
f ′′(x) = −(1+x+x2)−2(1+2x)(1+2x)+(1+x+x2)−12 = (1+x+x2)−2
[
−1− 4x− 4x2 + 2(1 + x+ x2)
]
=
(1 + x+ x2)−2(1− 2x− 2x2)
f ′′′(x) = −2(1 + x+ x2)−3(1 + 2x)(1− 2x− 2x2) + (1 + x+ x2)−2(−2− 4x2)
(aqúı se podŕıa simplificar más, pero para el apartado siguiente sólo necesitamos sustituir x = 0).
Para calcular el polinomio de Maclaurin basta con12 evaluar f(x) y las tres derivadas anteriores en
x = 0:
f() = 0 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 1 f ′′(0)/2! = 1/2 f ′′′(0) = −4 f ′′′(0)/3! = −2/3
y aplicar entonces la fórmula del polinomio para obtener P3(x) = x+
1
2 x− 23 x3.
Se tiene ln(1, 11) = f(0, 1), y por tanto un valor aproximado es P3(0, 1) = 0, 104333 . . . (el valor
“real” con 6 cifras decimales es 0, 104360).
o
12también se puede sustituir t = x+ x2 en ln(t) ≈ t− 1
2
t2 + 1
3
t3 − 1
4
t4 + · · · y despreciar los términos en x4 y exponentes
superiores, pero una vez calculadas las derivadas es más razonable usar la fórmula.
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11 UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN
18. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 3 de la función f(x) = ex−x
2
, y úsalo para dar un valor
aproximado de e0,09 con 6 cifras decimales.
Solución: Para calcular el polinomio hay dos opciones: aplicar la fórmula calculando las derivadas
o sustituir t = x − x2 en el desarrollo conocido de et. Veamos las dos; primero calculamos las
derivadas:
- f(x) = ex−x
2
, f(0) = 1.
- f ′(x) = (1− 2x)ex−x2 , f ′(0) = 1.
- f ′′(x) = [−2 + (1− 2x)2]ex−x2 = (−1− 4x+ 4x2)ex−x2 , f ′′(0) = −1.
- f ′′′(x) = [(−4+ 8x)+ (−1− 4x+4x2)(1− 2x)]ex−x2 = (−5+ 6x+12x2 − 8x3)ex−x2 , f ′′′(0) = −5.
Entonces el polinomio es
f(0) + f ′(0) +
1
2
f ′′(0) +
1
6
f ′′′(0) = 1 + x− 1
2
x2 − 5
6
x3
Se obtiene lo mismo sustituyendo t = x− x2 en et ∼= 1+ t+ 12 t2 + 16 t3 y truncando en grado 3 (los
términos de grado > 3 los eliminamos; pondremos · · · ):
ex−x
2 ∼= 1 + (x− x2) + 1
2
(x− x2)2 + 1
6
(x− x2)3 =
= 1 + (x− x2) + 1
2
(x2 − 2x3 + · · · ) + 1
6
(x3 + · · · ) = 1 + x− 1
2
x2 − 5
6
x3
Para x = 0, 1 se tiene x− x2 = 0, 1− 0, 01 = 0, 09. Usando el polinomio para aproximar tenemos
e0,09 = f(0, 1) ∼= 1 + 0, 1− 1
2
0, 01− 5
6
0, 001 = 1, 1− 0, 005− 0, 000833 = 1, 094167
(el valor real es 1, 094174 . . . )
o
19. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 2 de f(x) =
√
100 + x y úsalo para calcular un valor
aproximado de
√
101 con 5 decimales. [El valor real es
√
101 = 10, 04987562 . . . ]
Solución: Se tiene f(x) = (100 + x)1/2, luego f ′(x) = 12(100 + x)
−1/2 y f ′′(x) = −14(100 + x)−3/2.
Aśı
f(0) = 10 f ′(0) =
1
2
100−1/2 = 0, 5·10−1 = 0, 05 f ′′(0) = −1
4
100−3/2 = −0, 25·10−3 = −0, 00025
y el polinomio pedido es P (x) = f(0) + f ′(0)x+ 12 f
′′(0)x2 = 10 + 0, 05x− 0, 000125x2.
Por tanto
√
101 = f(1) ≈ 10 + 0, 05− 0, 000125 = 10, 049875.
o
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11 UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN
20. Dada la función f(x) = (x2 + 4x+ 9)3/2, se pide:
(a) Determina su dominio.
(b) Calcula sus derivadas primera y segunda, simplificándolas cuanto puedas.
(c) Resuelve las ecuaciones f(x) = 0, f ′(x) = 0 y f ′′(x) = 0.
(d) Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 2 de la función y úsalo para aproximar el valor (no
se pide acotar el error) de
√
9, 413.
Solución: (a) Observando que x2+4x+9 no tiene ráıces reales, o poniéndolo como x2+4x+4+5 =
(x+2)2 +5, vemos que siempre es positivo y por tanto siempre existe su ráız cuadrada, de manera
que el dominio es todo R.
(b) f ′(x) = 32(x
2 + 4x+ 9)1/2(2x+ 4) = 3(x+ 2)(x2 + 4x+ 9)1/2.
f ′′(x) = 3
[
(x2 + 4x+ 9)1/2 + (x+ 2)
1
2
(x2 + 4x+ 9)−1/2(4x+ 2)
]
=
3
[
(x2 + 4x+ 9)1/2 + (x+ 2)2(x2 + 4x+ 9)−1/2
]
= 3(x2+4x+9)−1/2[x2+4x+9+x2+4x+4] =
3(2x2 + 8x+ 13)(x2 + 4x+ 9)−1/2
(c) Como los polinomios x2+4x+9 y 2x2+8x+13 no tienen ráıces reales, las ecuaciones f(x) = 0
y f ′′(x) = 0 no tienen solución, y claramente la única solución para f ′(x) = 0 es x = −2.
(d) Al sustituir x = 0 en las expresiones anteriores, se tiene (x2 + 4x + 9)n/2 = 9n/2 = 3n, luego
f(0) = 33 = 27, f ′(0) = 3 · 2 · 3 = 18 y f ′′(0) = 3 · 13 · 3−1 = 13, y por tanto el polinomio de
Maclaurin pedido es p(x) = 27 + 18x+ 132 x
2 = 27 + 18x+ 6, 5x2.
Claramente, para x = 0, 1 se tiene x2 + 4x+ 9 = 9, 41, aśı que
√
9, 413 = (9, 41)3/2 = f(0, 1) ≈ p(0, 1) = 27 + 1, 8 + 0, 065 = 28, 865
o
21. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 4 de f(x) = sen(2x) ln(1 + 3x) y úsalo para dar un
valor aproximado de sen(0, 2) ln(1, 3).
Solución: Conocemos los polinomios de grado 4 de ambos factores:
sen(2x) ≈ 2x− 1
6
(2x)3 = 2x− 4
3
x3
ln(1 + 3x) ≈ 3x− 1
2
(3x)2 +
1
3
(3x)3 − 1
4
(3x)4 = 3x− 9
2
x2 + 9x3 − 81
4
x4
y basta con multiplicarlos truncando en grado 4 para obtener el resultado p(x) = 6x2− 9x3+14x4.
El valor pedido es f(0, 1), que aproximamos con
p(0, 1) = 0, 06− 0, 009 + 0, 0014 = 0, 0614− 0, 009 = 0, 0524
o
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