Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (65)

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11 UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN
35. La ecuación 37x3 + 3x2y + 6xy2 + y3 = 8 define a la variable y como función de x con y(0) = 2.
Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 2 de y(x).
Solución: Derivando con respecto a x en ambos miembros de la ecuación se tiene
0 = 3 · 37x2 + 6xy + 3x2y′ + 6y2 + 12xyy′ + 3y2y′ = 3
[
37x2 + 2xy + 2y2 + (x2 + 4xy + y2)y′
]
Evaluando ahora en x = 0 (con y(0) = 2) se tiene 0 = 3(8 + 4y′(0)), por lo que y′(0) = −2.
Derivando de nuevo con respecto a x en ambos miembros (y cancelando antes el 3) se tiene
0 = 2 · 37x+ 2y + 2xy′ + 4yy′ + (2x+ 4y + 4xy′ + 2yy′)y′ + (x2 + 4xy + y2)y′′
Evaluando en x = 0 (con y(0) = 2 e y′(0) = −2) se tiene 0 = 4−16−2(8−8)+4y′′(0) = −12+4y′′(0),
por lo que y′′(0) = 3.
Por tanto el polinomio pedido es P2(x) = y(0) + y
′(0) + 12 y
′′(0) = 2− 2x+ 32 x2.
o
Matemáticas de 1 , problemas 193 Alberto del Valle Robles
12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
12. UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLI-
CACIONES
1. Dada una función continua f : [a,+∞) → R, ¿cómo se define la integral impropia
∫ +∞
a f(x) dx, y
cuándo se dice que esa integral es convergente?
Solución: Se defie como el ĺımite cuando b → ∞ de
∫ b
a f(x) dx. y se dice que es convergente cuando
ese ĺımite es finito.
o
2. Haz un argumento geométrico (intuitivo) para defender la siguiente afirmación: Si f : R → R es
una función continua impar y b > 0, entonces la integral definida
∫ b
−b f(x)dx vale 0.
Solución: Aunque no se pregunta expresamente sobre eso, cabe señalar que, al ser f continua en
R, existe la integral definida.
Esa integral definida representa el área comprendida entre la gráfica de y = f(x) y el eje horizontal,
entendida como “área negativa” en los tramos en los que f(x) < 0. Como la función es impar, es
simétrica con respecto al origen, con lo que su gráfica sobre [−b, 0] es la gráfica sobre [0, b] girada
180 , y por tanto las “áreas positivas” sobre cada tramo se compensan con “áreas negativas” sobre
el otro, y viceversa, y en consecuencia el área total es nula.
Un argumento más formal (que no se pide) se basa en la interpretación de una integral definida
∫ a
b g(x)dx con a < b como el valor opuesto de
∫ b
a g(x)dx. Entonces, aplicando el cambio de variable
t = −x a I =
∫ b
−b f(x)dx, se obtiene
14
I =
∫ −b
b
f(−x)(−dx) = −
∫ −b
b
f(−x)dx =
∫ b
−b
f(−x)dx =
∫ b
−b
(−f(x))dx = −
∫ b
−b
f(x)dx = −I
y por lo tanto I = 0.
o
3. Calcula las primitivas
∫
sen(x) cos(x) dx y
∫
tan(x) dx con cambios de variable sencillos.
Solución: El cambio t = sen(x) (con dt = cos(x) dx) transforma la 1 en
∫
t dt = 12 t
2 = 12 sen
2(x).
El cambio t = cos(x) (con dt = − sen(x) dx) transforma la 2 en
∫ −dt
t = − ln(t) = − ln(cos(x)).
En ambos casos se puede sumar una constante de integración.
o
14La primera igualdad porque el cambio conlleva dt = −dx y cambia el signo a los ĺımites de integración; en la segunda
y la quinta sale fuera de la integral el signo −; la tercera porque en general
∫ a
b
g(x)dx = −
∫ b
a
g(x)dx, por el comentario
anterior; la cuarta por ser f impar.
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12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
4. Calcula primitivas de las funciones f(x) =
x
(1 + x2)3
y g(x) =
x2√
9− x3
.
Solución: Para la primitiva de f(x) hacemos t = 1 + x2, dt = 2x dx y aśı
∫
f(x) dx =
∫ 1
2 dt
t3
=
1
2
∫
t−3 dt =
1
2
t−2
−2 = −
1
4
(1 + x2)−2
Para la primitiva de g(x) hacemos t = 9− x3, dt = −3x2 dx y aśı
∫
g(x) dx =
∫ −13 dt√
t
= −1
3
∫
t−1/2 dt = −1
3
t1/2
1/2
= −2
3
√
9− x3
o
5. Calcula la integral definida I =
∫ 4
1
e
√
x dx.
Solución: Haciendo x = t2 se tiene dx = 2t dt, luego I =
∫ 2
1 2te
t dt. La primitiva se hace muy
fácilmente por partes y vale 2(t− 1)et, luego I = 2(t− 1)et
]2
1
= 2e2.
o
6. Calcula una primitiva de la función f(x) =
sen2 x− cos2 x
(senx− cosx)2 .
Solución: Se puede resolver de varias formas. La más rápida es observar que arriba hay una
diferencia de cuadrados y que al cancelar en la fracción el numerador resulta ser la derivada del
denominador, por lo que se obtiene un logaritmo neperiano de forma inmediata:
∫
sen2 x− cos2 x
(senx− cosx)2 dx =
∫
(senx+ cosx)(senx− cosx)
(senx− cosx)2 dx =
∫
senx+ cosx
senx− cosx dx = ln | senx−cosx|+C
Otra opción consiste en manipular las expresiones usando las fórmulas del ángulo doble:
sen2 x− cos2 x = − cos(2x) (senx− cosx)2 = sen2 x+ cos2 x− 2 senx cosx = 1− sen(2x)
y aplicar entonces el cambio t = 1− sen(2x), con dt = −2 cos(2x) dx:
∫
sen2 x− cos2 x
(senx− cosx)2 dx =
∫ − cos(2x)
1− sen(2x) dx =
∫ 1
2 dt
t
=
1
2
ln |t|+ C = 1
2
ln |1− sen(2x)|+ C
que coincide con la anterior si volvemos a usar 1 − sen(2x) = (senx − cosx)2 y pasamos como
exponente el 12 que multiplica al logaritmo.
o
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