Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (66)

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12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
7. Calcula la primitiva
∫
senx cosx
1 + sen4 x
dx .
Solución: El cambio de variable t = sen2 x, con dt = 2 senx cosx dx, lleva a
∫
senx cosx
1 + sen4 x
dx =
∫ 1
2 dt
1 + t2
=
1
2
arctan(t) + C =
1
2
arctan(sen2 x) + C
Alternativamente, si se intenta el cambio t = senx, con dt = cosx dx, se obtiene
∫
senx cosx
1 + sen4 x
dx =
∫
t dt
1 + t4
y entonces un nuevo cambio t2 = z, con 2t dt = dz, transforma la última primitiva en
∫ 1
2 dz
1 + z2
=
1
2
arctan(z) + C =
1
2
arctan(t2) + C =
1
2
arctan(sen2 x) + C
o
8. Calcula una primitiva de la función f(x) = ex(x2 − x+ 4).
Solución: Tomando partes u = x2 − x + 4 (con du = (2x − 1)dx) y dv = exdx (con v = ex) se
tiene
I =
∫
ex(x2 − x+ 4) dx =
∫
udv = uv −
∫
vdu = ex(x2 − x+ 4)−
∫
ex(2x− 1)dx
Para la última primitiva volvemos a tomar partes u = 2x − 1 (con du = 2dx) y dv = exdx (con
v = ex):
I = ex(x2 − x+ 4)−
[
ex(2x− 1)−
∫
2exdx
]
= ex(x2 − x+ 4)− [ex(2x− 1)− 2ex] =
= ex
[
x2 − x+ 4− (2x− 1) + 2
]
= ex(x2 − 3x+ 7)
Ésa es una primitiva, como se comprueba fácilmente derivando. Si se pidieran todas las primitivas
simplemente habŕıa que sumar una constante de integración.
o
9. Calcula una primitiva de f(x) = e2x(x2 + x+ 1).
Solución: Hacemos la integral por partes:
I =
∫
e2x(x2+x+1) dx =
[
u = x2 + x+ 1 du = (2x+ 1)dx
dv = e2x dx v = 12 e
2x
]
=
1
2
(
e2x(x2 + x+ 1)−
∫
e2x(2x+ 1) dx
)
Volvemos a hacer por partes la nueva primitiva que aparece:
∫
e2x(2x+ 1) dx =
[
u = 2x+ 1 du = 2dx
dv = e2x dx v = 12 e
2x
]
=
1
2
(
e2x(2x+ 1)−
∫
2e2x dx
)
=
Matemáticas de 1 , problemas 196 Alberto del Valle Robles
12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
1
2
(
e2x(2x+ 1)− e2x
)
= xe2x
Y sustituimos en la primera ĺınea para obtener finalmente:
I =
1
2
(
e2x(x2 + x+ 1)− xe2x
)
=
1
2
e2x(x2 + 1)
Como se pide “una” primitiva, no hace falta la constante de integración. No está de más derivar
para comprobar:
(
1
2
e2x(x2 + 1)
)′
=
1
2
(
2e2x(x2 + 1) + e2x2x
)
= e2x(x2 + x+ 1)
Una alternativa para calcular este tipo de primitivas es la siguiente: En general, si p(x) es un
polinomio y K 6= 0 es una constante, la derivada de eKxp(x) es eKx (Kp(x) + p′(x)), o sea eKx por
un polinomio del mismo grado que p(x).
En este caso es K = 2 y grado 2, por lo que podemos considerar una función e2x(Ax2 + Bx+ C),
calcular su derivada e igualarla a f(x) = e2x(x2 + x+ 1):
e2x
(
2Ax2 + 2Bx+ 2C + 2Ax+B
)
= e2x
(
2Ax2 + 2(B +A)x+ (2C +B)
) ?
= e2x(x2 + x+ 1)
Igualando los coeficientes de x2 obtenemos A = 1/2, igualando los de x obtenemos 2(B + A) = 1,
y por tanto B = 0, y la igualdad de los términos independientes es 2C +B = 0, o sea C = 1/2. Se
obtiene por tanto la primitiva e2x
(
1
2 x
2 + 12
)
= 12 e
2x(x2 + 1), como antes.
o
10. Calcula una primitiva de la función f(x) = ex sen(x).
Solución: Tomando partes u = ex (con du = exdx) y dv = sen(x)dx (con v = − cos(x)) se tiene
I =
∫
ex sen(x) dx =
∫
udv = uv −
∫
vdu = − ex cos(x) +
∫
ex cos(x)dx
Para la última primitiva volvemos a tomar partes u = ex (con du = exdx) y dv = cos(x)dx (con
v = sen(x)):
I = − ex cos(x) +
[
ex sen(x)−
∫
ex sen(x)dx
]
= − ex cos(x) + ex sen(x)− I
de donde 2I = ex(sen(x)− cos(x)) y por tanto una primitiva es I = e
x(sen(x)− cos(x))
2
.
o
11. Calcular una primitiva de la función f(x) = e2x senx.
Solución: Es un caso t́ıpico de aplicar partes dos veces y despejar el valor de la primitiva:
I =
∫
e2x senx dx =
[
u = e2x du = 2e2xdx
dv = senx dx v = − cosx
]
= −e2x cosx+ 2
∫
e2x cosx dx =
[
u = e2x du = 2e2xdx
dv = cosx dx v = senx
]
= −e2x cosx+2e2x senx−4I ⇒ I = e
2x(2 senx− cosx)
5
o
Matemáticas de 1 , problemas 197 Alberto del Valle Robles
12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
12. Calcula una primitiva de la función f(x) =
2x3 + 2x2 + 1
x2(x2 + 1)
.
Solución: Es una función racional. Como el grado del numerador es menor que el del denominador,
escribimos la función como suma de fracciones simples buscando los valores de A,B,C,D tales que
2x3 + 2x2 + 1
x2(x2 + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
Cx+D
x2 + 1
=
Ax(x2 + 1) +B(x2 + 1) + (Cx+D)x2
x2(x2 + 1)
=
(A+ C)x3 + (B +D)x2 +Ax+B
x2(x2 + 1)
Igualando los coeficientes desde grado 0 hasta grado 3 se obtiene B = 1, A = 0, D = 1 y C = 2,
luego
∫
2x3 + 2x2 + 1
x2(x2 + 1)
dx =
∫ (
1
x2
+
2x
x2 + 1
+
1
x2 + 1
)
dx =
−1
x
+ ln(x2 + 1) + arctanx+K
o
13. Calcula una primitiva de la función f(x) =
1
x4 − 1.
Solución: Es una función racional; para factorizar x4−1 se puede usar Ruffini, pero es más rápido
si se ven las “diferencias de cuadrados”:
x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)
donde el primer factor x2+1 no tiene ráıces reales. Por tanto hay que buscar constantes A,B,C,D
tales que
1
x4 − 1 =
Ax+B
x2 + 1
+
C
x+ 1
+
D
x− 1 =
(Ax+B)(x2 − 1) + C(x2 + 1)(x− 1) +D(x2 + 1)(x+ 1)
x4 − 1
Si igualamos los numeradores y sustituimos x = 1 y x = −1 obtenemos respectivamente
1 = 4D 1 = −4C ⇒ D = 1/4 C = −1/4
Haciendo ahora por ejemplo x = 0 se tiene
1 = −B − C +D = −B + 1/2 ⇒ B = −1/2
y por último con x = 2 se tiene
1 = (2A− 1
2
) · 3− 1
4
5 +
1
4
15 = 6A− 3
2
+
10
4
= 6A+ 1 ⇒ A = 0
Por tanto
f(x) =
1/4
x+ 1
− 1/4
x− 1 −
1/2
x2 + 1
⇒
∫
f(x) dx =
1
4
ln
(
x− 1
x+ 1
)
− 1
2
arctan(x) +K
o
Matemáticas de 1 , problemas 198 Alberto del Valle Robles