Herramientas algenbra lineal (61)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 8
Forma reducida de Jordan
Ya se ha puntualizado que fue Cauchy quien se dio cuenta de la estrecha relación
existente entre los valores y vectores propios de una matriz simétrica con las direc-
ciones principales y las longitudes de los ejes de la función asociada a esta matriz
simétrica, motivo por el cual se introdujo el concepto de ortogonalmente diagonali-
zable.
Gracias a los descubrimientos de Cauchy, Jacobi (1804-1851) pudo dar la solución
al sistema de ecuaciones diferenciales Y
′
= AY , donde A es una matriz diagonaliza-
ble. Posteriormente Jordan resolvió el caso no diagonalizable usando los conceptos
de matrices similares (dos matrices A y B se dicen similares si existe una matriz
invertible S tal que A = SBS−1). En su libro Traité des substitutions (1870) de-
mostró que una matriz puede ser transformada a una forma canónica hoy conocida
como Forma Canónica de Jordan.
Como hemos podido observar en este breve recorrido histórico, tanto los determi-
nantes como las matrices, y todas las elaboraciones abstractas que en el siglo XIX
se desarrollaron respecto a estos elementos, nos son imprescindibles en la evolución
y avance cient́ıfico, tanto en f́ısica como en ingenieŕıa, en la actualidad.
181
182 CAPÍTULO 8. FORMA REDUCIDA DE JORDAN
Ejercicios
1. Determinar la forma reducida de Jordan aśı como la base para la cual adopta la
forma reducida, de la matriz
A =
1 0 02 1 0
3 2 1
 .
Solución:
El polinomio caracteŕıstico es:
det(A− λI) = (1− λ)3
dim Ker (A− λI) = 1
Por lo tanto:
J =
1 1 00 1 1
0 0 1
 .
La base ha de ser tal que
v1 ∈ Ker (A− I)
v2 ∈ Ker (A− I)2 −Ker (A− I), pues (A− I)v2 = v1
v3 ∈ Ker (A− I)3 −Ker (A− I)2, pues (A− I)v3 = v3
A− I =
0 0 02 0 0
3 2 0
 , (A− I)2 =
0 0 00 0 0
4 0 0
 , (A− I)3 =
0 0 00 0 0
0 0 0

Luego v3 = (1, 0, 0), v2 = (A− I)v3 = (0, 2, 3), v1 = (A− I)v2 = (0, 0, 4).
La base es pues {(0, 0, 4), (0, 2, 3), (1, 0, 0)}.
— — —
2. Sea A una matriz 4× 4 con valor propio λ = 5 de multiplicidad 4.
183
Determinar todas las posibles formas de Jordan de esta matriz.
Solución:

5 0 0 0
1 5 0 0
0 1 5 0
0 0 1 5
 ,

5 0 0 0
1 5 0 0
0 1 5 0
0 0 0 5
 ,

5 0 0 0
1 5 0 0
0 0 5 0
0 0 1 5
 ,

5 0 0 0
1 5 0 0
0 0 5 0
0 0 0 5
 ,

5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 5 0
0 0 0 5
 .
— — —
3. Sea
A =

−2 1 0 −1
0 −2 0 4
−4 5 2 −4
0 0 0 2
 .
i) Determinar la matriz de Jordan aśı como la base en la cual la matriz adopta
la forma reducida hallada.
ii) Hallar A100
iii) Calcular eA
Solución:
i) Empecemos buscando los valores propios
det(A− tI) = (t+ 2)2(t− 2)2
Determinemos ahora los tamaños de los bloques de Jordan.