Álgebra Lineal Mora (28)

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Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales 
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en donde las fi las del arreglo representan a las ecuaciones. Por ejemplo, la fi la 1 repre-
senta a la primera ecuación del sistema. Note que en esta representación hemos 
omitido la línea vertical que separa a los coefi cientes de las variables de los térmi-
nos independientes.
La importancia de la representación anterior es tal que recibe un nombre, se llama 
la matriz aumentada del sistema 1.21. Cuando se suprime la columna de términos in-
dependientes, al arreglo se le llama matriz de coefi cientes del sistema, la cual es:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
 . . . . . . . . .
am1 am2 · · · amn
Antes de continuar la discusión es pertinente precisar lo que entenderemos por so-
lución de un sistema de ecuaciones lineales.
Defi nición 1.3.3. Por solución del sistema (1.21) entenderemos una n-ada (c1, c2, 
…, cn) tal que ai1c1 	 ai2c2 	 · · · 	 aincn � bi para cada i � 1, 2, …, n. Cuando el sistema 
tiene solución se dice consistente, de otra forma es inconsistente.
Si todos los bi en el sistema 1.21 son cero, entonces (0, 0, ..., 0) es solución, es decir, 
el sistema es consistente, compruébelo.
Ejemplo 1.3.2. Considere el sistema:
 x 	 2y � 3
 2x 	 4y � 1.
Geométricamente, las ecuaciones anteriores representan rectas paralelas; alge-
braicamente esto signifi ca que el sistema no tiene solución, pues si (c1, c2) fuese una 
solución, entonces c1 	 2c2 � 3 y 2c1 	 4c2 � 1, pero estas ecuaciones son incompa-
tibles, pues el primer miembro de la segunda es el doble del primer miembro de la 
primera, mientras que el segundo miembro de la segunda no es el doble del segundo 
miembro de la primera.
En el proceso de solución que seguimos en el ejemplo de las refi nerías usamos 
esencialmente las siguientes “operaciones”.
 1. Intercambiar dos ecuaciones.
 2. Multiplicar una ecuación por una constante no cero.
 3. Multiplicar una ecuación por una constante y sumarla a otra.
Las operaciones anteriores cuando se aplican a la representación de un sistema 
mediante la matriz aumentada reciben un nombre: operaciones elementales en las fi las 
de la matriz y se especifi can a continuación.
 1. Intercambiar dos fi las.
 2. Multiplicar una fi la por una constante no cero.
 3. Multiplicar una fi la por una constante y sumarla a otra.
Note que las operaciones elementales tienen inversa. Por ejemplo, si se intercam-
bió la fi la i con la j, la operación inversa consiste en intercambiar la fi la j con la i.