Álgebra Lineal Mora (32)

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Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales 
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Ejercicio 1.3.2. La matriz A � 
1 0 0 0 4
0 0 1 4 7
0 3 3 0 0
0 0 0 1 2
 no se encuentra en forma esca-
lonada reducida, ¿cuáles condiciones de la defi nición no cumple? Aplique operaciones 
elementales en sus fi las para llevarla a forma escalonada reducida.
Ejercicio 1.3.3. Suponga que se tiene un sistema de n ecuaciones lineales en n va-
riables y que la matriz aumentada del sistema se ha llevado, por medio de operaciones 
elementales, a una escalonada reducida en la que no hay fi las cero, ¿tiene solución el 
sistema?
En el proceso de resolver un sistema de ecuaciones, las respuestas a las siguien-
tes preguntas son importantes y se relacionan con las planteadas anteriormente. 
¿Qué condición deben cumplir las fi las de una matriz escalonada reducida para que el 
sistema que representa tenga solución? ¿Cómo saber si un sistema tiene muchas so-
luciones? ¿Cómo saber si un sistema tiene una única solución? ¿Se puede llevar cual-
quier matriz no cero, mediante operaciones elementales, a una en forma escalonada 
reducida?
Ejercicio 1.3.4. Construya ejemplos que ilustren las posibles respuestas a las pregun-
tas planteadas. Compare sus conclusiones con las del siguiente teorema.
Teorema 1.3.2. (método de reducción de Gauss-Jordan) Toda matriz A � 0 se puede 
llevar, mediante operaciones elementales en sus fi las, a una matriz escalonada reducida.
Demostración. Como A es no cero, algún aij � 0; podemos suponer que j es el me-
nor índice que cumple la condición, para algún i, esto signifi ca que las columnas con 
índice menor que j son cero, es decir, la matriz A luce como:
A � 
0 · · · 0 a1j · · · a1n
0 · · · 0 a2j · · · a2n
 . . . . . . . . . · · . . . . . . .
0 · · · 0 amj · · · amn
Si i � 1, multiplicando la primera fi la por a1j
�1, el elemento que resulta en la posi-
ción (1, j) es 1. Ahora, para i � 2, …, m multiplicamos la primer fi la por �aij y la suma-
mos a la fi la i obteniendo la matriz:
A1 � 
0 · · · 1 b1j	1 · · · b1n
0 · · · 0 b2j	1 · · · b2n
 . . . . . . . . . · · . . . . . . .
0 · · · 0 bmj	1 · · · bmn
Si i �1, intercambiamos la fi la i con la primera y aplicamos el mismo procedi-
miento, obteniendo una matriz de la misma forma que A1.
El siguiente paso es examinar la submatriz de A1, que tiene entradas bik con i � 2 
y k 
 j.
Si esta submatriz es cero hemos terminado, en caso contrario hay un k 
 j y un 
i � 2, tales que bik � 0. Podemos suponer que k es el menor de tales índices con esta 
propiedad.