Álgebra Lineal Mora (52)

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Capítulo 2. Matrices
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Los símbolos anteriores signifi can, de acuerdo con las condiciones de producción:
c11 � a11b11 + a12b21 	 · · · 	 a1nbn1
c12 � a11b12 + a12b22 	 · · · 	 a1nbn2
En general,
cij = ai1b1j 	 ai2b2j 	 · · · 	 ainbnj (2.1)
para todos i � l, ..., m y j � 1, ..., p.
Lo anterior nos lleva a defi nir el producto de dos matrices de órdenes “adecuados”.
Defi nición 2.1.2. Si A y B son matrices de orden m � n y n � p respectivamente, se 
defi ne el producto AB : � C, con C la matriz de orden m � p cuyas entradas están de-
fi nidas por la ecuación 2.1.
Con el lenguaje de producto de matrices, podemos formular los problemas relacio-
nados con la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Si tenemos el sistema
a11x1 	 a12x2 	 · · · 	 a1nxn � b1
a21x1 	 a22x2 	 · · · 	 a2nxn � b2
· ·
 ·
am1x1 	 am1x1 	 · · · 	 amnxn � bm
entonces defi niendo A, X y B como:
A � X :� B :�
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
a31 a32 · · · a3n
 
· · · 
am1 am2 · · · amn
· ·
 ·
· ·
 ·
· ·
 ·
x1
x2
x3
xn
· ·
 ·
b1
b2
b3
bm
· ·
 ·
el sistema se representa por AX � B. Esta manera de formularlo tiene varias ventajas, 
una de ellas es que podemos pensar que se trata de una sola ecuación cuya variable es 
X. De particular importancia es el caso n � m, en esta situación la matriz A es cuadrada 
y, como veremos, las preguntas relacionadas con las soluciones del sistema se reducen 
a decidir si A tiene inversa.
2.1.3. Propiedades de la suma y producto de matrices
En los sistemas de números conocidos en los niveles básicos, se ha enfatizado que las 
operaciones en éstos satisfacen ciertas propiedades como son: existencia de neutros o 
identidades, asociatividad, conmutatividad, distributividad del producto respecto a la 
suma. Teniendo esto en mente, es natural preguntarse si el producto y suma de matri-
ces satisfacen algunas de esas propiedades.
En la defi nición de suma de matrices se ha enfatizado que para poder sumar dos 
matrices, ésas deben tener el mismo orden, es decir, las dos deben ser de orden m � n. 
Al conjunto de matrices de orden m � n, con entradas en los números reales, lo de-
notaremos por Mm�n(R). Para multiplicar dos matrices A y B se necesita que el número 
de columnas del factor izquierdo sea igual al número de fi las del factor derecho. Con la 
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 2 Matrices
	2.1. Operaciones con matrices
	2.1.3. Propiedades de la suma y producto de matrices