Álgebra Lineal Mora (54)

Vista previa del material en texto

Capítulo 2. Matrices
3939
ai1b1j 	 ai2b2j 	 · · · 	 ainbnj. Si deseamos todos los elementos de la fi la i-ésima de AB, 
entonces hacemos que j tome los valores 1, 2, ..., p en la expresión anterior, es decir, la 
fi la i-ésima en AB es:
[ai1b11 	 ai2b21 	 · · · 	 ainbn1, ai1b12 	 ai2b22 	 · · · 	 ainbn2, ..., ai1b1p 	 ai2b2p 	 · · · 	 ainbnp]
De esto y la defi nición del producto de matrices se tiene:
dij � (ai1b11 	 ai2b21 	 · · · 	 ainbn1)c1j 	 (ai1b12 	 ai2b22 	 · · · 	 ainbn2)c2j
 	 · · · 	 (ai1b1p 	 ai2b2p 	 · · · 	 ainbnp)cpj
De manera análoga, para obtener a eij se toma la fi la i-ésima de A y la columna 
j-ésima de (BC).
La columna j-ésima de (BC) es: 
b11c1j 	 b12c2j 	 · · · 	 b1pcpj
b21c1j 	 b22c2j 	 · · · 	 b2pcpj
bn1c1j 	 bn2c2j 	 · · · 	 bnpcpj
· ·
 ·
Aplicando nuevamente la defi nición del producto de matrices se tiene:
eij � ai1(b11c1j 	 b12c2j 	 · · · 	 b1pcpj) 	 ai2(b21c1j 	 b22c2j 	 · · · 	 b2pcpj)
 	 · · · 	 ain(bn1c1j 	 bn2c2j 	 · · · 	 bnpcpj)
Invitamos al lector a comparar las expresiones anteriores que representan a dij y a 
eij. Con esto tendrá elementos para corroborar que se tiene igualdad.
Observación 2.1.1. Cuando A es una matriz cuadrada, digamos de orden n � n, la 
identidad izquierda y derecha coinciden, le llamamos simplemente matriz identidad. En 
este caso denotaremos a la matriz identidad por In y se tiene InA � AIn � A.
Observación 2.1.2. Note que si A y B son matrices y AB está defi nido, BA no necesa-
riamente lo está. Puede ocurrir que los productos AB y BA estén defi nidos y sin embargo 
AB� BA. Otra propiedad que se tiene en el producto de matrices es que AB puede ser la 
matriz cero sin que A y B sean cero.
2.2. Matrices elementales e inversas
En esta sección presentaremos una discusión de las operaciones elementales en las fi las 
de una matriz, dándoles una interpretación en términos de producto de matrices. Tam-
bién caracterizaremos a las matrices cuadradas que tienen inversa, esto lo haremos en 
términos de matrices elementales. Una vez que sepamos cuándo tiene inversa una ma-
triz, y cómo calcularla, regresaremos a estudiar un sistema de ecuaciones lineales, el cual 
sabemos se puede escribir de forma AX � B. Si A tiene inversa, entonces multiplicando la 
ecuación anterior por A�1 tendremos A�1 AX � A�1B, de esto y las propiedades: InX � X y 
A�1A � In se tendrá que X � A
�1B, es decir, el sistema de ecuaciones se habrá resuelto.
Cuando se discutió el método de reducción de Gauss-Jordan defi nimos lo que llama-
mos operaciones elementales en las fi las de una matriz. Nos dimos cuenta que en esencia 
se tienen tres tipos de operaciones para eliminar elementos en las fi las de una matriz.
	Álgebra Lineal
	Capítulo 2 Matrices
	2.2. Matrices elementales e inversas