Álgebra Lineal Mora (56)

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Capítulo 2. Matrices
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 E12A � 
0 1 0
1 0 0
0 0 1 
 
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 � 
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14
a31 a32 a33 a34
 E13A � 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 
� 
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14
 E23A � 
1 0 0
0 0 1
0 1 0
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 
� 
a11 a12 a13 a14
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
 3. ¿Tiene alguna conclusión general para poder contestar a las preguntas plantea-
das arriba?
Defi nición 2.2.1. Una matriz n � n se dice inversible, si existe una matriz B, n � n 
tal que AB � BA � In.
Observación 2.2.1. La inversa de una matriz es única, es decir, si existen dos matrices 
B y C tales que AB � BA � In � AC � CA entonces, C � CIn � CAB � (CA)B � InB � B, 
probando que B � C. A la inversa de A la denotaremos por A–1.
Ejercicio 2.2.1. Demuestre que las matrices elementales tienen inversa.
En el lenguaje de matrices elementales, el teorema 1.3.2 puede ser enunciado de la 
siguiente forma. Dada una matriz m � n no cero, existen matrices elementales E1, E2, ..., Et 
tales que Et ... E2E1A � R, en donde R es la forma escalonada reducida de la matriz A.
Un caso de mucha importancia ocurre cuando la matriz A es cuadrada, es decir, 
m � n. Bajo este supuesto analizaremos las condiciones que debe cumplir A para que 
exista su inversa; también se propondrá un método para encontrarla. Con esto y la 
observación 2.2.1 tendremos un método para resolver un sistema de n ecuaciones en 
n variables.
Supongamos que A es una matriz n � n, y sean E1, ... Et matrices elementales ta-
les que Et ... E1A � R es la matriz escalonada reducida de A. Recordemos que R es una 
matriz cuyas fi las no cero tienen entrada principal igual a 1, y la columna en la que se 
encuentra tiene solamente esa entrada diferente de cero. La siguiente observación será 
importante en el análisis que haremos para decidir si una matriz tiene inversa.
Observación 2.2.2. Sea R la forma escalonada reducida de A, matriz n � n. Entonces 
R no tiene fi las cero ⇔ es igual a In.
En efecto, si R � In, claramente R no tiene fi las cero. Recíprocamente, si R no tiene 
fi las ceros, entonces R tiene n fi las no cero y las condiciones de R (siendo escalonada 
reducida), fuerzan R � In. Hay otras observaciones que son importantes:
Observación 2.2.3:
 1. Si dos matrices A y B tienen inversa, el producto AB tiene inversa y (AB)�1 � 
B�1A�1.
 2. Si una matriz A tiene una fi la de ceros y B es otra matriz tal que AB está defi -
nida, entonces AB tiene una fi la de ceros, en particular si A es cuadrada y tiene 
una fi la de ceros, entonces A no tiene inversa. ¿Cuál es el resultado si B tiene una 
columna de ceros?
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