Álgebra Lineal Mora (79)

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Álgebra lineal
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3.2. Combinaciones lineales y dependencia lineal
Con el lenguaje y operaciones entre vectores podemos dar otra interpretación a un 
sistema de ecuaciones. Dicha interpretación resultará muy útil para determinar solu-
ciones, así como para representar información.
Consideremos el sistema:
 2x 	 y � 3 (3.1)
 x 	 2y � 4
Usando notación de vectores, estas ecuaciones se pueden representar como:
(2x 	 y, x 	 2y) � (3, 4) o en forma equivalente x(2, 1) 	 y(l, 2) � (3, 4)
A los vectores de la forma x(2, 1) + y(1, 2) les llamaremos combinación lineal de los 
vectores (2, 1) y (1, 2). Note que estos vectores se obtienen de las columnas de la matriz 
de coefi cientes del sistema 3.1. Una forma de interpretar que el sistema 3.1 tiene solu-
ción, es que el vector (3, 4) sea combinación lineal de los vectores (2, 1) y (1, 2).
 Para valores positivos de los escalares x, y, el miembro de la izquierda en cual-
quiera de las ecuaciones anteriores representa a todos los puntos de la región som-
breada que se ilustra en la fi gura 3.5.
Si a un sistema de ecuaciones se le representa en forma vectorial, como en el 
ejemplo que estamos discutiendo, el hecho de tener soluciones signifi ca que el vec-
tor de términos constantes se expresa como combinación lineal de las columnas de 
la matriz de coefi cientes.
Como el vector (3, 4) se encuentra en la región sombreada, sin resolver el sistema 
de ecuaciones podemos decir que tiene solución positiva.
Haciendo un análisis más general podemos llegar a que la ecuación (2x 	 y, 
x 	 2y) � (a, b) tiene solución para todo (a, b). Una forma geométrica de este análisis 
Figura 3.5. Representación de 
x(1, 2) 	 y(2, 1), para x, y � 0.
�1
�2
�3
b2
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 b1�1�2�3
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	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.2. Combinaciones lineales y dependencia lineal