Álgebra Lineal Mora (81)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
66
Defi nición 3.2.1. Los vectores α1, α2, . . ., αk son linealmente independientes si la úni-
ca solución de la ecuación x1α1 	 x2α2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 xkαk � 0 es x1 � x2 � ⋅ ⋅ ⋅ � xk � 0. En caso 
contrario son linealmente dependientes.
Observación 3.2.1
 • Si k � 2 y α1, α2 ∈ R
2 son linealmente dependientes, entonces existen escalares a 
y b, no ambos cero, tales que aα1 	 bα2 � 0. Por ejemplo, si a � 0 entonces de
 la ecuación anterior tenemos α1 � 
�
b
a
 α2. Recíprocamente, si existe una c tal que 
 α1 � cα2, entonces la ecuación xα1 	 yα2 � 0 tiene más de una solución: x � y � 0 
y x � 1, y � �c son soluciones. Lo que hemos discutido lo podemos formular 
diciendo que los vectores α1 y α2 son linealmente dependientes ⇔ uno es múlti-
plo del otro. La interpretación geométrica de esto es: α1 y α2 son linealmente de-
pendientes ⇔ están en una recta que pasa por el origen. Ver fi gura 3.7.
 • Si uno de los vectores en la defi nición 3.2.1 es cero, entonces son linealmente de-
pendientes. Por ejemplo. si α1 � 0, entonces además de la solución que consiste 
de ceros se tiene la solución x1 � 1, x2 � x3 � ⋅ ⋅ ⋅ � xk � 0.
Ejercicio 3.2.1. Demuestre lo siguiente.
 • Cualesquiera tres vectores o más en R2 son linealmente dependientes. Este enun-
ciado equivale a: dados cualesquiera tres vectores o más en R2, al menos uno 
de ellos es combinación lineal de los restantes.
 • Cualesquiera cuatro vectores o más en R3 son linealmente dependientes.
Ejercicio 3.2.2. Sean A una matriz 3 � 3, X y B matrices 3 � 1. Represente al siste-
ma AX � B como una ecuación en donde B es combinación lineal de las columnas de A.
Figura 3.7. Dependencia lineal 
de vectores.
Ejemplo 3.2.1. El ejemplo de las refi nerías reformulado.
Consideremos nuevamente el ejemplo de las refi nerías, ejemplo 1.1.4, página 16. Recor-
demos que por cada barril de petróleo la producción de las refi nerías está determina-
da por la tabla 3.1.
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
�1
�2
�3
�1�2�3
�� � (�a, �b)
� � (a, b)