Álgebra Lineal Mora (84)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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Del curso de geometría analítica sabemos que la ecuación general de una recta 
L, referida al plano cartesiano, es de la forma Ax 	 By 	 C � 0; en donde A, B y C son 
constantes reales y al menos uno de A y B es no cero. Considerando a esta recta como 
un subconjunto del plano cartesiano, se puede decir que los puntos de L son preci-
samente aquellos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación Ax 	 By 	 C � 0. Este 
conjunto de puntos se puede describir de otra forma: existe un vector α � 0 y un punto 
P ∈ L tales que los puntos de L son precisamente de la forma P 	 t
rα , en donde t varía 
en R. A esta representación de L se le llama la forma vectorial o paramétrica. Ver la fi -
gura 3.8.
En efecto, sea P � (x0, y0) tal que Ax0 	 By0 	 C � 0, entonces �Ax0 � By0 � C. Sus-
tituyendo C en la ecuación de la recta y agrupando se tiene A(x � x0) 	 B(y � y0) � 0, 
es decir, las coordenadas de un punto (x, y) satisfacen la ecuación Ax 	 By 	 C � 0 ⇔ 
A(x � x0) 	 B(y � y0) � 0. Por otro lado, para cada t ∈ R se tiene A(�tB) 	 B(tA) � 0, 
entonces haciendo x � x0 � �tB y y � y0 � tA, estas dos ecuaciones se pueden repre-
sentar como: (x, y) � (x0, y0) 	 t(�B, A).
Proponiendo 
rα � (�B, A) y P � (x0, y0) ∈ L se tiene que un punto (x, y) pertenece a 
L si y sólo si (x, y) � (x0, y0) 	 t(�B, A).
Usando la representación vectorial de una recta y tomado en cuenta que un plano 
se “genera” por rectas, es “razonable” defi nir un plano en R3 como:
Defi nición 3.3.1. Dados: P � (x0, y0, z0) ∈ R
3 y dos vectores linealmente indepen-
dientes, 
rα , 
r
β ∈ R3, al subconjunto {P + s
rα + t
r
β : s, t ∈ R} le llamaremos el plano que
contiene a P y es generado por 
rα y 
r
β .
¿Qué ocurre si en la defi nición anterior no se pide que los vectores sean lineal-
mente independientes? Por ejemplo, tome los vectores 
rα � (1, 1, 2), 
r
β � (3, 3, 6) y el
punto P � (0, 0, 0). Bosqueje los elementos de la forma P 	 s
rα 	 t
r
β , con s, t ∈ R.
Ejercicio 3.3.1. Haga un bosquejo geométrico de un plano, de acuerdo con la defi ni-
ción anterior.
Figura 3.8. Representación vectorial 
de la recta L : Ax 	 By 	 C � 0.
L : Ax 	 By 	 C � 0
y
x
P � (x0, y0)
 � � (�B, A)
1 2 3 4 5 6 7
�1
�2
�3
�1�2�3
1
2
3
4
5
6
7
t�
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