Álgebra Lineal Mora (85)

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Álgebra lineal
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Ejercicio 3.3.2. Describa el plano que contiene al punto P � (1, 2, 0) y es generado por 
los vectores 
rα � (1, 2, 0) y 
r
β � (1, 1, 1).
Ejercicio 3.3.3. Describa el plano que contiene a los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 1).
Ejercicio 3.3.4. Determine si los siguientes conjuntos son planos.
 •�{(1 	 2t 	 s, 3 	 4t 	 s, 0) ∈ R3 : s, t ∈ R}
 • {(t, s, 3) ∈ R3 : s, t ∈ R}
3.3.1. Norma y producto interno
Dos conceptos fundamentales en geometría euclidiana son: distancia entre dos puntos 
y ángulo entre rectas. Estos conceptos se pueden formular en un espacio vectorial que 
tiene condiciones apropiadas, como es el caso de R2, R3 y en general Rn. Para tal efecto 
se requiere defi nir el concepto de norma o longitud de un vector y ángulo entre vec-
tores. Iniciamos con la idea de norma o magnitud de un vector.
Una aplicación del Teorema de Pitágoras en el espacio permite defi nir la distancia 
del origen de coordenadas al punto que determina un vector 
rα � (a, b, c). Esto se pre-
cisa en la:
Defi nición 3.3.2. Dado un vector 
rα � (a, b, c) ∈ R3 se defi ne y se denota su norma o
longitud como: ��
rα �� : � a b c
2 2 2 	 	 .
Ejercicio 3.3.5. Haga un dibujo que ilustre la defi nición de norma de un vector.
Dados los vectores 
rα � (x, y) y 
r
β � (a, b) no cero en R2, éstos forman un ángulo 
θ como se ilustra en la fi gura 3.9.
�
�
�
� �� � �
1 2 3 4 5 6 7
�1
�2
�3
�1�2�3
1
2
3
4
5
6
7
Sea 
r
γ � 
r
β � 
rα � (a � x, b � y). De acuerdo con la ley de los cosenos tenemos:
 ��
r
γ ��2 � ��
rα ��2 	 ��
r
β ��2 � 2��
rα �� ��
r
β �� cos(θ) (3.5)
Figura 3.9. Ángulo entre 
vectores en R2.
	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.3. Aspectos geométricos de R2 y R3 vía álgebra lineal
	3.3.1. Norma y producto interno