Álgebra Lineal Mora (88)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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 4. Sea S = {a21 	 a
2
2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 a
2
n : ai ∈ R, n ∈ n}. Usando la Identidad de Lagrange, 
demuestre que el conjunto S es cerrado bajo multiplicación.
 5. Demuestre que el producto interno satisface las siguientes propiedades:
 i. 〈
r
u , 
r
v 〉 � 〈
r
v , 
r
u 〉 (Simetría).
 ii. 〈
r
u , 
r
u 〉 � 0 y 〈
r
u , 
r
u 〉 � 0 ⇔ 
r
u � 0, (Positividad).
 iii. 〈λ
r
u 	 μ
r
v , 
r
w 〉 � λ〈
r
u , 
r
w 〉 	 μ〈
r
v , 
r
w 〉 (Linealidad por la izquierda).
 iv. 〈
r
u , λ
r
v 	 μ
r
w 〉 � λ〈
r
u , 
r
v 〉 	 μ〈
r
u , 
r
w 〉 (Linealidad por la derecha). Note que 
esta propiedad se obtiene de la primera y la tercera.
3.3.2. Proyección ortogonal de un vector sobre otro
En varios problemas geométricos y de física, es importante determinar la proyección 
ortogonal de un vector en la dirección de otro. Por ejemplo, esa es la idea que se usa 
para determinar la distancia de un punto a una recta. Esta idea se puede usar para 
determinar la distancia de un punto a un plano. Dados dos vectores no cero, 
r
u y 
r
v , 
podemos descomponer a 
r
u como suma de dos vectores: uno ortogonal a 
r
v que le 
denotaremos x
ur
 y otro paralelo a 
r
v que es de la forma λ
r
v . Ver fi gura 3.11.
Las condiciones anteriores se pueden describir como sigue: 
r
u � x
ur
	 λ
r
v . De 
esto se tiene x
ur
 � 
r
u � λ
r
v . Ahora, de la hipótesis sobre x
ur
 y 
r
v tenemos 0 � 〈 x
ur
, 
r
v 〉 � 
〈
r
u � λ
r
v , 
r
v 〉 � 〈
r
u , 
r
v 〉 � λ〈
r
v , 
r
v 〉. De esta última ecuación se obtiene el valor de λ,
pues como 
r
v � 
r
0 , entonces su norma tampoco es cero y se tiene, λ � 
r r
r r
u v
v v
,
,
.
vxu
�v
1 2 3 4 5 6 7
�1
�2
�3
�1�2�3
1
2
3
4
5
6
7
Figura 3.11. Proyección ortogonal de 
un vector sobre otro.
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.3. Aspectos geométricos de R2 y R3 vía álgebra lineal
	3.3.2. Proyección ortogonal de un vector sobre otro