Álgebra Lineal Mora (91)

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Álgebra lineal
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Dado un vector 
r
u en R2, nos interesa encontrar a todos aquellos vectores que son 
ortogonales a 
r
u . Si 
r
u � (0, 0), entonces todos los vectores del plano son ortogo-
nales a 
r
u . En caso contrario, si 
r
u � (a, b) estamos buscando a todos aquellos vec-
tores X
uru
 � (x, y) tales que 〈
r
u , X
uru
〉 � ax 	 by � 0. En esta ecuación se reconoce que los 
vectores que se buscan son precisamente aquellos que se localizan sobre la recta L 
que tiene por ecuación: ax 	 by � 0. Si 
r
v es un vector no cero en L, entonces los vec-
tores que se buscan son precisamente los que son de la forma λ
r
v , con λ ∈ R. Ver fi gu-
ra 3.13.
Si 
r
u � (a, b, c) ∈ R3, entonces los vectores X
uru
 � (x, y, z) que son ortogonales a 
r
u � (a, b, c) son aquellos que satisfacen: (
r
u , X
uru
) � ax 	 by 	 cz � 0, y como en el 
caso anterior, tenemos dos posibilidades: si 
r
u = (0, 0, 0), entonces todos los elemen-
tos de R3 satisfacen la condición requerida. En otro caso, los vectores que se buscan 
son precisamente aquellos que satisfacen la ecuación 〈
r
u , X
uru
〉 � ax 	 by 	 cz � 0. 
¿Qué objeto geométrico representa esa ecuación?
Consideremos la ecuación ax 	 by 	 cz � 0 y supongamos, por ejemplo, que 
a � 0, entonces la podemos escribir en la forma x � �
b
a
y �
c
a
z. Tomando y � 0 y 
z � �a se tiene el vector 
r
v1 � (c, 0, �a). Intercambiando papeles entre y y z en el caso
anterior se tiene el vector 
r
v2 � (b, �a, 0).
Figura 3.13. Vectores ortogonales 
a uno dado.
u � (a, b)
v
v�
1 2 3 4 5 6 7
�1
�2
�3
�1�2�3
1
2
3
4
5
6
7
Afi rmación 1: 
r
v1 y 
r
v2 son linealmente independientes.
Si x
r
v1 	 y
r
v2 � (xc 	 by, �ax, �ay) � (0, 0, 0), la hipótesis sobre a implica que 
x � y � 0, probando lo afi rmado.
Afi rmación 2: Los conjuntos {(x, y, z) : ax 	 by 	 cz � 0} y {μ
r
v1 	 λ
r
v2: μ, λ, ∈ R} 
son iguales.