Álgebra Lineal Mora (93)

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Álgebra lineal
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Interpretación geométrica de la magnitud de 
r
u � 
r
v
Sabemos que el ángulo θ entre los vectores no cero 
r
u y 
r
v se obtiene de la ecuación 
cos(θ) � 
��
r
u �� ��
r
v ��
r r
u v,
. Por otro lado tenemos la bien conocida identidad cos2(θ) 	 
sen2(θ) � 1, de lo cual se obtiene:
 sen2(θ) � 1 � cos2(θ) � 
r r r r r r
r r r r
u u v v u v
u u v v
, , ,
, ,
�
2
 (3.14)
Asignando coordenadas a los vectores 
r
u � (a1, a2, a3) y 
r
v � (b1, b2, b3) y usando la 
Identidad de Lagrange (2c), se tiene:
〈
r
u , 
r
u 〉 〈
r
v , 
r
v 〉 � 〈
r
u , 
r
v 〉2 � (a1b2 � a2b1)
2 	 (a1b3 � a3b1)
2 	 (a2b3 � a3b2)
2 � ��
r
u � 
r
v ��2
De esto último y de la ecuación 3.14 obtenemos ��
r
u � 
r
v ��2 � ��
r
u ��2��
r
v ��2 � sen2 (θ). 
Si 0 � θ � π, entonces sen (θ) � 0, por lo que:
 ��
r
u � 
r
v �� � ��
r
u �� ��
r
v �� sen (θ) (3.15)
La expresión de la derecha en 3.15 es el área de un paralelogramo que tiene lados 
r
u y 
r
v , como usted se puede convencer haciendo un dibujo.
Observación 3.3.2. La ecuación 3.15 proporciona una forma de calcular el área de 
un paralelogramo determinado por los vectores 
r
u y 
r
v (explique). También proporciona 
una alternativa para calcular el ángulo entre dos vectores. La desventaja de esta fórmula 
para calcular el ángulo entre vectores, es que no se puede extender a Rn, sin embargo, en 
la ecuación 3.14 sí se puede usar para calcular el ángulo entre cualquiera de dos vectores 
de Rn usando la función seno.
Ejemplo 3.3.4. Calcule el área del paralelogramo determinado por los vectores 
r
u � (2, 1, 0) y 
r
v � (1, 3, 0).
Discusión. Se tiene 
r
u � 
r
v � 
 i
r
 j
r
 k
ur
 2 1 0
 1 3 0
 � (0, 0, 5). De donde se obtiene que el área 
buscada es ��(0, 0, 5)�� � 5.
3.3.4. Ecuación de un plano
Sabemos, de la geometría euclidiana, que tres puntos no colineales determinan a un 
único plano. Si tales puntos P, Q y R pertenecen a R3, deseamos encontrar la ecua-
ción del plano que los contiene. El procedimiento que utilizaremos se basa en lo si-
guiente. Dado un vector N
uru
� 0, hay un único plano ortogonal a N
uru
 que pasa por el 
origen, de esto se tiene que dado un vector N
uru
� 0 y un punto S ∈ R3, hay un único 
plano ortogonal a N
uru
 y que pasa por S.
Si P, Q y R son puntos no colineales en R3, los vectores α � Q � P y β � R � P son 
linealmente independientes (demostrarlo), por lo que N
uru
 � α � β � (a, b, c) es un 
vector no cero ortogonal a α y β. Si X � (x, y, z) es un vector en el plano que pasa por P, 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.3. Aspectos geométricos de R2 y R3 vía álgebra lineal
	3.3.4. Ecuación de un plano