Álgebra Lineal Mora (96)

Vista previa del material en texto

Capítulo 3. Espacios vectoriales
81
12. Usando terminología y notación vectorial, defi na una esfera y exprésela me-
diante una ecuación.
13. ¿Cuál es la ecuación de un elipsoide centrado en el origen? ¿Cuál es la ecuación 
de un paraboloide con vértice en el origen? Exponga todas las posibilidades, to-
mando como guía el caso de una parábola en el plano cartesiano con vértice en 
el origen.
3.4. El espacio vectorial Rn
Después de haber discutido las propiedades básicas de R2 y R3 como espacios vec-
toriales, nos disponemos a efectuar lo análogo en Rn, con lo cual estaremos en posi-
bilidad de formular de manera precisa la conexión entre un sistema de ecuaciones 
lineales y el concepto de dependencia lineal. Para tal efecto, iniciamos con la discu-
sión del espacio Rn, así como la suma y producto por escalar.
Defi nición 3.4.1. Para cada entero positivo n defi nimos:
Rn :� {(x1, x2, ..., xn) | xi ∈ R para todo i � 1, 2, ..., n}
La operación de suma en Rn y el producto por escalar se formulan como:
 • dados (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈ R
n, se defi ne
 (x1, x2, ..., xn) 	 (y1, y2, ..., yn) :� (x1 	 y1, x2 	 y2, ..., xn 	 yn)
 • dados (x1, x2, ..., xn) ∈ R
n y c ∈ R, se defi ne
 c (x1, x2, ..., xn) :� (cx1, cx2, ..., cxn)
Note que la suma y producto por escalar en Rn son simplemente las extensiones 
de la suma y producto por escalar en R2 y R3. Las representaciones geométricas de la 
suma y producto por escalar pueden ser “pensadas” de la misma forma que en R2 y R3.
Supongamos que A es una matriz m � n, entonces a las columnas de A las pode-
mos considerar como elementos de Rm y a sus fi las como elementos de Rn, con esta 
convención al sistema de ecuaciones lineales AX � B lo podemos interpretar en tér-
minos de combinaciones lineales en Rm. Más precisamente, si AX � B lo escribimos 
en la forma
a11x1 	 a12x2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 a1nxn � b1
a21x1 	 a22x2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 a2nxn � b2
 (3.17)
am1x1 	 am2x2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 amnxn � bm
entonces este sistema se puede escribir como
x1A1 	 x2A2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 xnAn � B
en donde hemos elegido la notación: Aj � (a1j, a2j, ..., amj) y B � (b1, b2, ..., bm). Si el sis-
tema tiene solución decimos que B es combinación lineal de A1, A2, ..., An.
· ·
 ·
81
	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.4. El espacio vectorial Rn