Álgebra Lineal Mora (169)

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Álgebra lineal
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En efecto, como la dimensión de Wij es eij, basta demostrar que el conjunto pro-
puesto es linealmente independiente. Sea:
 a0v 	 a1(T � cjI)v 	 · · · 	 al(T � cjI)
l v � 0 (6.10)
con l � eij � 1. Como (T � cjI)
eij v � 0, entonces aplicando (T � cjI)
l en la ecuación 6.10 
se tiene a0(T � cjI)
l v � 0 y como (T � cjI)
l v � 0, entonces a0 � 0. Continuando en esta 
forma se concluye que todos los coefi cientes en la citada ecuación son cero.
La matriz de T restringida a Wij respecto a la base {v, (T � cjI)v, ..., (T � cjI)
eij�1} se 
obtiene aplicando T a cada elemento.
 T(v) � cjv 	 (T � cjI)v
 T(T � cjI)v � (T � cjI)(T(v))
 � (T � cjI)(cjv 	 (T � cjI)v)
 � cj(T � cjI)v 	 (T � cjI)
2v
· ·
 ·
 T(T � cjI)
m v � (T � cjI)
m(cjv 	 (T � cjI)v)
 � cj(T � cjI)
m v 	 (T � cjI)
m 	 1 v
· ·
 ·
 T((T � cjI)
eij�1(v)) � cj(T � cj)
eij�1(v)
De estas ecuaciones se tiene que la matriz asociada a la restricción de T en Wij es:
cj 0 · · · 0 0 0
1 cj · · · 0 0 0
0 1 · · · 0 0 0
· ·
 ·
 · ·
 ·
 
· · ·
 · ·
 · 
· ·
 ·
 
· ·
 ·
0 0 · · · 1 cj 0
0 0 · · · 0 0 cj
 (6.11)
consecuentemente, existe una base de Wj respecto de la cual la matriz asociada a T 
restringida a Wj es diagonal por bloques con cada bloque de la forma (6.11), llamado 
bloque de Jordan. Si el polinomio mínimo se expresa como producto de factores linea-
les, entonces el anulador en cada Wij es de la forma (x � cj)
eij y procediendo como en el 
caso anterior se tiene que la restricción de T a cada Wj es diagonal por bloques con cada 
bloque de la forma (6.11). Resumiendo, hemos demostrado el siguiente:
Teorema 6.3.1. (Forma canónica de Jordan). Sea V un espacio de dimensión fi nita, 
T un operador en V. Supongamos que el polinomio mínimo de T se expresa como m(x) 
� (x � c1)
e1 (x � c2)
e2 · · · (x � ck)
ek. Entonces existe una base de V respecto de la cual T se 
representa por una matriz de la forma J � diag{J1, ..., Jk}, con cada Jm a la vez diagonal 
por bloques: Jm � diag{J1m,..., Jimm} y cada Jrm un bloque de Jordan de orden erm, los cua-
les satisfacen em � e1m � e2m � · · · � ermm.