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Álgebra lineal 168 no cero. Si X es un vector característico de B con valor característico μ, enton- ces X es vector característico de A con valor característico 1 λμ μ . 4. Sea A una matriz n � n, cuyas entradas son todas iguales a uno. Demuestre que los únicos valores característicos de A son n y 0. 5. Sea A una matriz inversible con polinomio mínimo m(x) � xk ak � 1x k � 1 ⋅ ⋅ ⋅ a1x a0. ¿Cuál es el polinomio mínimo de A �1? ¿Cómo representa a A�1 en términos de A? Si A es diagonalizable, ¿qué puede decir al respecto de A�1? 6. Suponga que la matriz A es diagonalizable. ¿Es Ak diagonalizable para todo en- tero positivo k? Si Ak es diagonalizable para algún entero positivo k, ¿es A dia- gonalizable? 7. Sean, A una matriz diagonalizable con valores característicos λ1, λ2, ..., λn y q(x) un polinomio no constante. Defi nimos la matriz B :� q(A). ¿Es diagona- lizable la matriz B? Si su respuesta es afi rmativa, ¿a cuál matriz diagonal es si- milar B? 8. Sea A matriz 6 � 6 con polinomio mínimo x2(x � 3)3. Determine las posibles for- mas canónicas de Jordan de A. 9. Sean T y T1 dos operadores en V que conmutan y son diagonalizables. Demues- tre que existe una base de V en la cual ambos se representan por matrices dia- gonales. 10. Demuestre que la matriz del ejercicio 1b es similar a su transpuesta. Sugeren- cia: A puede ser considerada la matriz de un operador T respecto a la base {α1, α2, ..., αn}, entonces T(αi) � αi 1 para i � 1, 2, ..., n � 1 y T(αn) � 0. 11. Use el ejercicio anterior para demostrar que toda matriz es similar a su trans- puesta. 12. Sea A una matriz diagonalizable. Demuestre que todos los valores característi- cos de A son iguales ⇔ A � cI, para algún c. 13. Sea p(x) un polinomio mónico. ¿Existen matrices no similares que tengan a p(x) por polinomio mínimo? 14. ¿Existen matrices simétricas reales que tengan por polinomio mínimo a x4 � 1? 15. Sean A y B matrices nilpotentes de orden 3. Demuestre que son similares ⇔ tie- nen el mismo polinomio mínimo. 16. Si los polinomios mínimo y característico de A son (x � 3)2 y (x � 3)3 respecti- vamente. Determine las posibles formas canónicas de Jordan de A. 17. Sea g(x) el polinomio en la ecuación 6.4, página 136. Demuestre que g(x) tiene grado � n2 y que g(A) � 0, en donde A es la matriz que se usa para construir a g(x). 18. Sea p(x) un polinomio con coefi cientes enteros, irreducible y mónico. Si A es una matriz n � n cuyo polinomio mínimo es p(x), conteste las siguientes pre- guntas. a) ¿Puede ocurrir que A no tenga entradas enteras? b) ¿Es A diagonalizable? c) ¿Cuál debe ser el grado de p(x) para que A pueda ser simétrica? d) ¿Puede ocurrir que p(x) tenga grado 13?
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