problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (112)

Vista previa del material en texto

5.1 Concepto de anillo
7. En el conjunto Z se definen las operaciones:
a ∗ b = a+ b− 1, a ◦ b = a+ b− ab.
Demostrar que (Z, ∗, ◦) es anillo conmutativo con elemento unidad.
8. Demostrar que en un anillo A con elemento unidad, la conmutatividad de
la suma se puede deducir a partir de los restantes axiomas.
Solución. 1. Vimos que (Z,+) es grupo abeliano. Por otra parte, el pro-
ducto de enteros es un entero y el producto de enteros sabemos que tiene
las propiedades asociativa y distributiva. En consecuencia, (Z,+, ·) es anillo.
Dado que el producto de enteros tiene la propiedad conmutativa y que el
número 1 es su elemento neutro, concluimos que (Z,+, ·) es anillo conmuta-
tivo y unitario.
De manera análoga, deducimos que (Q,+, ·), (R,+, ·) y (C,+, ·) son anillos
conmutativos y unitarios.
2. Vimos que (R[x],+) es grupo abeliano. Por otra parte, el producto de
elementos de R[x] es un elemento de R[x]. El producto de estos polinomios
según sabemos tienen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva
y además el polinomio e(x) = 1 es elemento neutro para el producto.
Concluimos que (R[x],+, ·) es anillo conmutativo y unitario.
3. La suma es claramente interna y cumple según sabemos las propiedades
asociativa y conmutativa. La matriz nula 0 es elemento neutro y dada A, su
elemento simétrico es −A. Es decir, (Rn×n,+) es grupo abeliano.
Según sabemos, el producto es operación interna, asociativa y distributiva
respecto de la suma. Además, la matriz identidad I de orden n es elemento
neutro para el producto. Concluimos que (Rn×n,+, ·) es anillo unitario.
No es conmutativo porque en general no se verifica la propiedad conmutativa
para el producto de matrices, basta tomar como contraejemplo:
A =
[
0 1
0 0
]
, B =
[
0 0
1 0
]
.
Tenemos
AB =
[
1 0
0 0
]
, BA =
[
0 0
0 1
]
,
es decir AB 6= BA.