problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (163)

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Caṕıtulo 6. Sistemas lineales sobre un cuerpo
Solución. 1. Aplicando el método de Gauss: a 1 1 11 a 1 a
1 1 a a
F1 ↔ F3 ∼
 1 1 a a1 a 1 a
a 1 1 1
 F2 − F1
F3 − aF1
∼
 1 1 a a0 a− 1 1− a 0
0 1− a 1− a2 1− a2
F3 + F2
∼
 1 1 a a0 a− 1 1− a 0
0 0 2− a− a2 1− a2
 ≡

x + y + a z = a
(a− 1) y +(1− a) z = 0
(2− a− a2) z = 1− a2.
(1)
Primer caso: 2 − a − a2 = 0. Resolviendo la ecuación obtenemos a = −2
o a = 1. Para a = −2, la última ecuación de (1) es 0z = −3, por tanto
el sistema es incompatible. Para a = 1, el sistema (1) se transforma en
x+ y + z = 1. Dando los valores y = λ, z = µ obtenemos las soluciones
(x, y, z) = (1− λ− µ, λ, µ), (λ, µ ∈ R),
y el sistema es por tanto indeterminado.
Segundo caso: 2− a− a2 6= 0, o equivalentemente a 6= 1 y a 6= −2. Tenemos,
z =
a2 − 1
a2 + a− 2
=
(a+ 1)(a− 1)
(a− 1)(a+ 2)
=
a+ 1
a+ 2
,
y = z =
a+ 1
a+ 2
,
x = a− a+ 1
a+ 2
− a(a+ 1)
a+ 2
=
a2 + 2a− a− 1− a2 − a
a+ 2
= − 1
a+ 2
,
y el sistema es por tanto compatible y determinado.
2. Aplicando el método de Gauss: 1 1 c 01 c 1 0
1 1 c d
 F2 − F1
F3 − cF1
∼
 1 1 c 00 c− 1 1− c 0
0 1− c c− c2 d

F3 + F2 ∼
 1 1 c 00 c− 1 1− c 0
0 0 1− c2 d
 ≡