problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (395)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
4. (a) Para todo x ∈ E no nulo se verfica 0(x) = 0 = 0x, es decir todo vector
no nulo de E es valor propio del endomorfismo nulo asociado al único valor
propio λ = 0.
(b) Para todo x ∈ E no nulo se verifca I(x) = x = 1x, es decir todo vector
no nulo de E es valor propio del endomorfismo identidad asociado al único
valor propio λ = 1.
5. Tenemos
Au =

a b b b
b a b b
b b a b
b b b a


1
1
1
1
 =

a+ 3b
a+ 3b
a+ 3b
a+ 3b
 = (a+ 3b)

1
1
1
1
 ,
Av =

a b b b
b a b b
b b a b
b b b a


1
0
0
−1
 =

a− b
0
0
b− a
 = (a− b)

1
0
0
−1
 .
Es decir, u es vector propio de A correspondiente al valor propio λ = a+ 3b,
y v lo es correspondiente al λ = a− b
6. Si λ es valor propio de la matriz involutiva A, existe vector columna x no
nulo tal que Ax = λx. Multiplicando por A :
A(Ax) = A(λx)⇒ A2x = λ(Ax)⇒ Ix = λ(λx)⇒ x = λ2x
⇒
(
λ2 − 1
)
x = 0 ⇒︸︷︷︸
x 6=0
λ2 − 1 = 0⇒ λ = 1 ∨ λ = −1.
7. Tenemos que demostrar que fn(x) = λnx para todo entero n > 0. Apli-
camos el método de inducción.
Paso base. Por hipótesis, f(x) = λx, es decir f1(x) = λ1x lo cual implica
que la propiedad es cierta para n = 1.
Paso de inducción. Se la propiedad cierta para n. Veamos que es cierta para
n+ 1. En efecto, usando la hipótesis de inducción y que fn (composición de
aplicaciones lineales) es lineal:
fn+1(x) = f (fn(x)) = f(λnx) = λnf(x) = λnλx = λn+1x.
La fórmula es cierta para n+ 1.
	 Valores y vectores propios
	Primeras propiedades de los valores y vectores propios