Clase_20

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Matemáticas II
Clase 20: Valores y vectores propios,
determinante
Jorge Rivera
10 de octubre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 215 - 222
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Agenda
Objetivos de la clase
Valores y vectores propios
Determinantes
Śıntesis de hechos relevantes
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Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de valor y vector propio de una matriz.
• Conocer propiedades elementales de valor y vector propio.
• Conocer el determinante de una matriz.
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Motivación
• La motivación fundamental para lo que sigue es establecer un
resultado importante a partir del cual uno pueda determinar el signo de
una matriz: diagonalización de matrices simétricas.
• Para establecer ese resultado se introduce el concepto de valor y
vector propio de matrices.
• Para encontrar valores propios de una matriz se usa los determinantes.
• La diagonalización de matrices simétricas utiliza los valores propios de
la matriz.
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Valores y vectores propios
• Un valor propio de una matriz A ∈ Rn×n es un escalar λ para el cual
existe un vector v ̸= 0n (llamado vector propio asociado al valor propio
λ) tal que
Av = λv .
Nota: es importante que el vector v sea diferente de 0n, porque si uno
permite que sea 0n ocurre que cualquier escalar seŕıa un valor propio:
A0n = λ0n = 0n.
Ejemplo
Para la matriz A =
[
2 1
1 2
]
, λ = 3 es un valor propio de A, ya que, por
ejemplo, para v =
[
5
5
]
se cumple que
[
2 1
1 2
]
︸ ︷︷ ︸
A
[
5
5
]
︸︷︷︸
v
=
[
15
15
]
= 3︸︷︷︸
λ
[
5
5
]
︸︷︷︸
v
: Av = λv .
5
Propiedades básicas de los valores y vectores propios
(i) Si λ es un vp de A y v 1 y v 2 son vectores propios asociados a ese
valor propio, entonces para todo β ∈ R se tiene que v 1 + βv 2 es un
vector propio asociado a λ:
A(v 1 + βv 2) = Av 1 + βAv 2 = λv 1 + βλv 2 = λ(v 1 + βv 2).
Por lo anterior, agregando el vector 0n al conjunto de todos los
vectores propios asociados a un valor propio, el conjunto
Sλ = {v ∈ Rn : Av = λv}
es un subespacio vectorial de Rn, llamado subespacio propio
asociado al valor propio λ
• Una consecuencia de lo anterior, que usaremos más adelante, es
que si v ∈ Rn es un vector propio de A ∈ Rn×n asociado al valor
propio λ, entonces para todo escalar β ocurre que βv también es un
vector propio asociado a λ.
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(ii) Sean λ1 y λ2 valores propios de A y sean v 1, v 2 respectivos vectores
propios. Primero, si λ1 ̸= λ2 se tiene que v 1 es l.i con v 2. Más aun,
segundo, si la matriz es simétrica, bajo lo indicado se tiene que
v 1 ⊥ v 2.
Primero: sean α1 y α2 tal que α1v 1 + α2v 2 = 0n.
Pre-multiplicando por A se tiene que
A(α1v 1 + α2v 2) = A0n = 0n ⇒ α1(λ1v 1)︸ ︷︷ ︸
λ1α1v1
+α2(λ2v 2)︸ ︷︷ ︸
λ2α2v2
= 0n.
De lo primero, α1v 1 = −α2v 2, y eso en lo anterior implica que
λ1(−α2v 2)+λ2(α2v 2) = 0n ⇒ (λ2 − λ1)︸ ︷︷ ︸
̸=0
α2v 2 = 0n ⇒ α2 = 0.
Usando lo anterior se deduce que α1 = 0, por lo que v 1 y v 2 son l.i.
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Para lo segundo: partamos por tener presente que para dos vectores
X ,Y ∈ Rn se tiene que X · Y = X tY , y que para A ∈ Rn×n, por
propiedades de traspuesta se tiene que X tA = (AtX )t. Con eso,
recordando que At = A (simétrica) se tiene que:
v 1 · v 2 =
(
1
λ1
Av 1
)
·v 2 =
1
λ1
(Av 1)tv 2
(AB)t=BtAt
=
1
λ1
v t1A
tv 2
At=A
=
1
λ1
v t1Av 2
es decir,
v 1 · v 2
Av2=λ2v2=
1
λ1
v t1λ2v 2 =
λ2
λ1
v t1·v 2 =
λ2
λ1
v 1·v 2 ⇐⇒
(
1− λ2
λ1
)
︸ ︷︷ ︸
λ1 ̸=λ2:
λ2
λ1
̸=1
v 1·v 2 = 0.
Lo anterior implica que v 1 · v 2 = 0, es decir, v 1 ⊥ v 2.
Nota: la parte en rojo ya que Av 1 = λ1v 1 implica que v 1 = 1λ1Av 1.
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Ejemplo
Suponiendo que A ∈ Rn×n es invertible, explicar por qué si λ es un valor
propio de A entonces 1λ es un valor propio de A
−1.
En efecto: si λ es un valor propio de A es porque hay un vector v ̸= 0n
tal que Av = λv . Luego, multiplicando por A−1 tenemos que
Av = λv A−1(Av) = A−1(λv) ⇒ I nv = λA−1v
es decir,
v = λA−1v ⇒ A−1v = 1
λ
v .
Luego, para la cantidad 1λ hay un vector no nulo (v) que cumple la
condición para ser valor propio de A−1.
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Ejemplo
Mostremos que los valores propios de una matriz diagonal son
precisamente los elementos de la diagonal. Para ilustrar consideramos una
matriz de 2× 2:
A =
[
λ1 0
0 λ2
]
.
Notando que
A
[
1
0
]
=
[
λ1 0
0 λ2
][
1
0
]
=
[
λ1
0
]
= λ1
[
1
0
]
,
el vector v 1 =
[
1
0
]
̸= 02 cumple que Av 1 = λ1v 1. Luego, λ1 es un valor
propio de A. Para mostrar que λ2 es un valor propio, basta verificar que
el vector v 2 =
[
0
1
]
̸= 02 cumple Av 2 = λ2v 2.
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Ejemplo
Explique por qué si λ es un valor propio de A ∈ Rn×n entonces λ2 es un
valor propio de A2 = AA.
En efecto, si λ es un valor propio de A es porque existe un vector v ̸= 0n
tal que Av = λv . Luego, multiplicando por A se tiene que
Av = λv
A (·)
=⇒ A(Av) = A(λv) ⇒ A2v = λ Av︸︷︷︸
λv
= λ(λv) = λ2v .
Luego, para la cantidad λ2 existe un vector no nulo (v) tal que
A2v = λ2v , es decir, λ2 es un valor propio de A.
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Ejemplo
Explique por qué si λ = 0 es un valor propio de A ∈ Rn×n entones A no
es invertible.
En efecto: si λ = 0 es un valor propio de A es porque existe v ̸= 0n tal
que
Av = 0 v ⇒ Av = 0n.
Como v ̸= 0n, lo anterior corresponde a decir que hay una combinación
lineal de las columnas de A que es 0n donde no todos los coeficientes son
0 (componentes de v). Es decir, las columnas de A son l.d, por lo que A
no es invertible.
Ejercicio: explique Ud. por qué si A ∈ Rn×n no es invertible, entonces
λ = 0 debe ser un valor propio de A.
• Sobre la base de lo anterior, se concluye que una matriz A ∈ Rn×n es
invertible śı y solo śı todos sus valores propios son diferentes de 0.
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Determinantes
Motivación
• El determinante de una matriz será de gran ayuda para calcular
(obtener) sus valores propios.
• Para introducir el concepto de determinante de una matriz, ilustremos
la idea para una matriz de 2× 2:
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
.
Las columnas de esta matriz definen un paralelogramo en R2, que se
muestra en la siguiente figura.
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Figura 1: Paralelogramo definido por las columnas de A
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• Usando “algo de geometŕıa” se puede probar que el área del
paralelogramo de la Figura 1 es dado por
Area Paralelogramo de la Figura 1 = |a11 ∗ a22 − a21 ∗ a12|.
• El determinante de la matriz A ∈ R2×2 anterior se define como
det(A) = a11 ∗ a22 − a21 ∗ a12
de modo que el área en la Figura 1 es el valor absoluto del
determinante de la matriz.
• El hecho clave es que si las columnas de la matriz son l.i, de modo
que la matriz es invertible, entonces sus columnas definen un
paralelogramo que tiene área diferente de 0:
A invertible ⇐⇒ det(A) ̸= 0.
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• ¿Qué es el determinante de una matriz de 3× 3?
Las columnas de la matriz A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 definen una caja oblicua
(un paraleleṕıpedo) en el espacio.
Figura 2: Paraleleṕıpedo definido por las columnas de A
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• Si las columnas de A son l.i, entonces el paraleleṕıpedo tiene volumen
diferente de cero, mientras que si las columnas son l.d entonces el
“volumen de la caja” es 0.
• Salvo por una cuestión de signo, el determinante de una matriz
A ∈ R3×3, denotado det(A), es el volumen del paraleleṕıpedo que forman
las columnas de la matriz. De esta manera, la matriz de 3× 3 es
invertible śı y solo śı su determinante es diferente de 0.
• La idea anterior se puede extender a matrices de n × n: el
determinante es el “hipervolumen” del “hiper-paraleleṕıpedo” que
forman las columnas de la matriz.
• Por lo anterior, A ∈ Rn×n es invertible śı y solo śı su determinante es
diferente de 0.
• ¿Cómo calcular el volumen de la caja en la Figura 2? Más general:
¿cómo calcular el hipervolumen de una “hiper-caja” en Rn definida por
las columnas de una matriz de n × n? Próxima clase....
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Śıntesis de hechos relevantes
1. Conocer qué es un valor propio de una matriz, y qué es un vector propio
asociado.
2. Dado un valor propio, saber que el conjunto de todos los vectores propios
asociados, incluyendo al vector nulo, es un sev.
3. Conocer que, en general, vectores propiosasociados a valores propios
diferentes son vectores l.i.
4. Conocer que cuando la matriz es simétrica, vectores propios asociados a
valores propios diferentes son ortogonales (más fuerte que l.i).
5. Conocer que, salvo el signo, el determinante es el área (o volumen, o
hipervolumen) del (hiper) paraleleṕıpedo” que se forma con las columnas
de la matriz.
6. Conocer que la matriz es invertible si y sólo si su determinante es
diferentes de cero.
7. Saber como se calcula el determinante de una matriz de 2× 2.
8. Pendiente: cálculo de determinantes de matrices de “orden mayor” que
2× 2.
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	Objetivos de la clase
	Valores y vectores propios
	Determinantes
	Síntesis de hechos relevantes