Clase_22

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Matemáticas II
Clase 22: Diagonalización de matrices
simétricas
Jorge Rivera
22 de octubre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 235 - 245
1
Agenda
Objetivos de la clase
Previa
Diagonalización de una matriz simétrica
2
Objetivos de la clase
• Conocer el resultado sobre la diagonalización de matrices simétricas.
3
Previa
Cuestiones previas (1)
• En todo lo que sigue, se asume que A es una matriz simétrica.
• Sobre esas matrices, sabemos que vectores propios asociados a valores
propios diferentes son ortogonales. Es decir, dada A ∈ Rn×n tal que
At = A (simétrica), sean λ1 y λ2 son valores propios de A y sean v 1 y v 2
vectores propios respectivos. Se tiene que
λ1 ̸= λ2 ⇒ v 1 ⊥ v 2.
4
Cuestiones previas (2): obtener vectores propios asociados a
valores propios
• Considere la siguiente matriz:
A =
[
3 2
2 0
]
∈ R2×2.
• Los valores propios de A vienen de resolver la siguiente ecuación:
det(A− λI 2) = 0 ⇐⇒ det
[
3− λ 2
2 −λ
]
= 0,
es decir:
λ2 − 3λ− 4 = 0.
• Por lo anterior, los valores propios de A son
λ1 =
3 +
√
9 + 16
2
= 4 ∨ λ2 =
3−
√
9 + 16
2
= −1.
5
• Encontremos un vector propio asociado a λ1 = 4.
• Sea v 1 =
[
x1
x2
]
el vector propio que buscamos. Entonces se debe
cumplir que (recuerde que Av = λv equivale a (A− λI 2)v = 02)[
3 2
2 0
][
x1
x2
]
= 4
[
x1
x2
]
⇐⇒
[
(3− 4) 2
2 −4
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
,
es decir: [
−1 2
2 −4
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
.
6
• Ya que λ1 = 4 es un valor propio de A, ocurre que la matriz
A− λ1I 2 =
[
−1 2
2 −4
]
no es invertible (directo verificar!). Por ese hecho, las ecuaciones del
sistema [
−1 2
2 −4
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
informan lo mismo. Es decir, para resolver ese sistema basta con
resolver solo una de ellas (de modo que el sistema tiene infinitas
soluciones, todas ellas vectores propios asociados al valor propio λ1).
• De esta manera, las componentes de los vectores propios asociados al
valor propio λ1 = 4 cumplen que (usamos la primera ecuación)
−x1 + 2 x2 = 0.
7
• Aśı, por ejemplo, tomando x2 = 1 ocurre que x1 = 2 por lo que
v 1 =
[
2
1
]
∈ R2
es un vector propio asociado a λ1 = 4.
• Normalización del vector propio: notando ahora que
∥v 1∥ =
√
4 + 1 =
√
5, ocurre que
v̂ 1 =
1√
5
[
2
1
]
=
 2
√
5
5
√
5
5
 ∈ R2
también es un vector propio asociado a λ1 = 4, el que además tiene
norma igual a 1: ∥v̂ 1∥ = 1 (vector unitario).
8
Para el valor propio λ2 = −1, un vector propio v 2 =
[
x1
x2
]
cumple que
[
3 2
2 0
][
x1
x2
]
= −1
[
x1
x2
]
⇐⇒
[
3 + 1 2
2 1
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
,
es decir: [
4 2
2 1
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
.
• Por lo tanto, los vectores propios v 2 =
[
x1
x2
]
asociados a λ2 = −1 son
tal que (usar primera ecuación, que coincide con la segunda ecuación)
4x1 + 2x2 = 0.
• Por ejemplo, si x2 = 2 se tiene que x1 = −1, por lo que
v 2 =
[
−1
2
]
∈ R2
es un vector propio asociado a λ2 = −1.
9
• Normalizando v 2: del hecho que ∥v 2∥ =
√
5, definimos el siguiente
vector unitario (que sigue siendo un vector propio asociado a λ2 = −1):
v̂ 2 =
1√
5
[
−1
2
]
=
−
√
5
5
2
√
5
5
 ∈ R2.
NOTA 1: haciendo el producto interno de v̂ 1 con v̂ 2 se tiene que
v̂ 1 · v̂ 2 =
[
2
√
5
5
√
5
5
]
·
−
√
5
5
2
√
5
5
 = 0,
es decir v̂ 1 ⊥ v̂ 2. Por otro lado, el hecho que ∥v̂ 1∥ = 1 corresponde a
decir que v̂ 1 · v̂ 1 = 1 (de manera análoga, v̂ 2 · v̂ 2 = 1).
NOTA 2: el hecho v̂ 1 sea un vector propio asociado a λ1 = 4 implica
que Av̂ 1 = 4v̂ 1. Aśı mismo, Av̂ 2 = −1 v̂ 2.
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Diagonalización de una matriz
simétrica
• Usando lo desarrollado en las partes previas, definamos la siguiente
matriz (columnas de P son los vectores v̂ 1 y v̂ 2):
P =
[
v̂ 1 v̂ 2
]
=
 2
√
5
5
−
√
5
5
√
5
5
2
√
5
5
 ∈ R2×2.
• Primero: como Av̂ 1 = 4v̂ 1 y Av̂ 2 = −1 v̂ 2, se tiene que:
Av̂ 1 =
[
v̂ 1 v̂ 2
] [4
0
]
∧ Av̂ 2 =
[
v̂ 1 v̂ 2
] [ 0
−1
]
,
lo que es equivalente a decir que (forma matricial de esas relaciones)
AP = P
[
4 0
0 −1
]
11
• Segundo: del hecho que Pt =
[
v̂ t1
v̂ t2
]
=
 2
√
5
5
√
5
5
−
√
5
5
2
√
5
5
 multiplicando
con P se tiene que
PtP =
[
v̂ t1
v̂ t2
] [
v̂ 1 v̂ 2
]
=
 2
√
5
5
√
5
5
−
√
5
5
2
√
5
5

 2
√
5
5
−
√
5
5
√
5
5
2
√
5
5
 = [1 0
0 1
]
.
• Es decir, la matriz P cumple que
P−1 = Pt.
Las matrices que cumplen esa condición se llaman matrices ortogonales.
12
• Por lo tanto, definiendo
D =
[
4 0
0 −1
]
como la matriz diagonal de valores propios de A, tenemos que
AP = PD
( )Pt
=⇒ A = PDPt,
que para el caso bajo análisis corresponde a decir diagonalización de A):3 2
2 0

︸ ︷︷ ︸
A
=
 2
√
5
5
−
√
5
5
√
5
5
2
√
5
5

︸ ︷︷ ︸
P
 4 0
0 −1

︸ ︷︷ ︸
D
 2
√
5
5
√
5
5
−
√
5
5
2
√
5
5

︸ ︷︷ ︸
Pt
.
13
Resumen:
• En general: dada A ∈ Rn×n una matriz simétrica, existe una matriz
ortogonal P ∈ Rn×n (es decir, P−1 = Pt) tal que para D ∈ Rn×n la
matriz diagonal de los valores propios de A se cumple que
A = PDP t.
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Ejemplo
Diagonalizar la matriz
A =
[
2
√
3√
3 4
]
.
• Paso 1: obtener los valores propios de la matriz
det(A− λI 2) = 0 ⇐⇒ det
[
2− λ
√
3√
3 4− λ
]
= 0,
por lo que el polinomio caracteŕıstico de A igualado a 0 es
λ2 − 6λ+ 5 = 0.
Con eso, los valores propios de A son
λ1 = 1 ∨ λ2 = 5.
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• Paso 2: obtener vectores propios para cada valor propio
• Para λ1 = 1 se tiene que[
2− 1
√
3√
3 4− 1
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
⇐⇒
[
1
√
3√
3 3
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
⇒ x1 +
√
3x2 = 0.
Luego, ya que uno escoge los números según convenga (nunca el 0),
haciendo x2 =
√
3 tenemos que x1 = −3, por lo que un vector propio
asociado a λ1 = 1 es v 1 =
[
−3√
3
]
.
• Para λ2 = 5 se tiene que[
2− 5
√
3√
3 4− 5
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
⇐⇒
[
−3
√
3√
3 −1
][
x1
x2
]
=
[
0
0
]
⇒ −3 x1 +
√
3x2 = 0.
Luego, haciendo x2 =
√
3 tenemos que x1 = 1, por lo que un vector
propio asociado a λ2 = 5 es
v 2 =
[
1√
3
]
16
• Paso 3: normalización (dividir por la norma)
• Para v 1 se tiene que ∥v 1∥ =
√
9 + 3 =
√
12 = 2
√
3. Luego,
v̂ 1 =
1
2
√
3
−3√
3
 =

−3
2
√
3
√
3
2
√
3
 =
−
√
3
2
1
2
 .
• Para v 2 se tiene que ∥v 2∥ =
√
1 + 3 = 2. Luego,
v̂ 2 =
1
2
 1√
3
 =

1
2
√
3
2
 .
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• Paso 4: identificar P, D y presentar el resultado
Sobre la base de lo expuesto:
P =
[
v̂ 1 v̂ 2
]
=
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
 ∧ D = [1 0
0 5
]
,
por lo que 2
√
3
√
3 4

︸ ︷︷ ︸
A
=
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2

︸ ︷︷ ︸
P
1 0
0 5

︸ ︷︷ ︸
D
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2

︸ ︷︷ ︸
Pt
,
donde P cumple la propiedad P−1 = Pt (matriz ortogonal) y D es
la diagonal de valores propios de A.
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	Objetivos de la clase
	Previa
	Diagonalización de una matriz simétrica