Tarea_2_Primavera_2022__2_

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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Métodos Matemáticos II (ENMEM155)
Primavera 2022
Tarea 2
Problema 1: espacio vectorial y subespacio vectorial
(a) Para qué valores de α1, α2, α3 y α4 ocurre que
V = {(x1, x2, x3)t ∈ R3 : α1x1 + α2x2 + α3x3 = −4α4}
es un subespacio vectorial de R3.
Respuesta:
Los valores de α1, α2y α3 son arbitrarios, mientras que α4 debe ser 0.
(b) Considere el conjunto de vectores
V =


α
−β
2β
−α

 ⊆ R4
Con α, β ∈ R, Demuestre que V es s.e.v de R4, y encuentre una base para V .
Respuesta:
Demuestre que V es s.e.v de R4
• 04 ∈ V , ya que

α
−β
2β
−α
 =

0
0
0
0
, con α = β = 0.
• Si V1, V2 ∈ V , entonces existe un α1, α2, β1, β2 ∈ R tal que:
V1 =

α1
−β1
2β1
−α1
 ∧ V2 =

α2
−β2
2β2
−α2

V1 + V2 =

α1
−β1
2β1
−α1
+

α2
−β2
2β2
−α2
 =

α1 + α2
−(β1 + β2)
2(β1 + β2)
−(α1 + α2)

Dado que (α1 + α2), (β1 + β2) ∈ R... entonces (V1 + V2) ∈ V
• Si V1 ∈ V , entonces existe α1, β1, k ∈ R tal que:
V1 =

α1
−β1
2β1
−α1

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kV1 = k

α1
−β1
2β1
−α1
 =

kα1
−kβ1
2kβ1
−kα1

Dado que α1, β1, k ∈ R, entonces kV1 ∈ V
Por lo tanto V es un sev de R4
Ahora bien, Para encontrar una base de V, primero definamos un generador:
◦ Si v ∈ V , entonces existe α, β ∈ R tal que:
v =

α
−β
2β
−α

v = α

1
0
0
−1
+ β

0
−1
2
0

Por lo tanto 

1
0
0
−1
 ,

0
−1
2
0


genera V .
◦ Además es LI, ya que
v = α1

1
0
0
−1
+ α2

0
−1
2
0
 =

0
0
0
0
 ⇒

α1
−α2
2α2
−α1
 =

0
0
0
0
 ⇒ α1, α2 = 0
Por lo tanto 

1
0
0
−1
 ,

0
−1
2
0


es base de V .
(c) Analizar si los siguientes conjuntos son SEV de R3
S =

xy
z
 ∈ R3/x = y = z + 3

T =

xy
z
 ∈ R3/x(z − 4) = y

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Respuesta:
Para S xy
z
 =
z + 3z + 3
z

03 /∈ S ya que
z
11
1
+
33
0
 =
00
0

z + 3z + 3
z
 =
00
0

Por lo tanto, z + 3 = 0 y z = 0, por ende 03 /∈ S
Para T xy
z
 =
 xx(z − 4)
z

Si v1, v2 ∈ T entonces:
v1 =
x1y1
z1
 =
 x1x1(z1 − 4)
z1
 ∧ v2 =
x2y2
z2
 =
 x2x2(z2 − 4)
z2

v1 + v2 =
x1 + x2y1 + y2
z1 + z2
 =
 x1 + x2x1(z1 − 4) + x2(z2 − 4)
z1 + z2

Ahora bien, como:
x1(z1 − 4) + x2(z2 − 4) ̸= (x1 + x2)[(z1 + z2)− 4]
Por lo tanto T no es SEV de R3
(d) Determine si el siguiente conjunto V es un subespacio vectorial de R3. En caso de no serlo establezca
las condiciones para que lo sea.
V = {(p, q, r) ∈ R3/p− q = 0 ∧ 3r = q + 2p}
Respuesta:
En efecto
(0, 0, 0) ∈ R3, 0− 0 = 0y3 · 0 = 0 + 2 · 0
Luego
(0, 0, 0) ∈ V
Sean los vectores X = (x1, x2, x3) ∈ V ∧ Z = (z1, z2, z3) ∈ V y los reales α, β, mostremos que
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(αX + βZ) ∈ V
En efecto, dado que X,Z ∈ V se cumple que
x1 − x2 = 0
3x3 = x2 + 2x1
z1 − z2 = 0
3z3 = z2 + 2z1
Luego
αX + βZ = (αx1 + βz1, αx2 + βz2, αx3 + βz3)
Para que αX + βZ ∈ V se debe cumplir que:
(αx1 + βz1)− (αx2 + βz2) = 0
3(αx3 + βz3) = (αx2 + βz2) + 2(αx1 + βz1)
Multiplicando por α la ecuación x1 − x2 = 0 y por β la ecuación z1 − z2 = 0 tenemos:
αx1 − αx2 = 0
βz1 − βz2 = 0
Luego sumamos ambas ecuaciones y tenemos
(αx1 + βz1)− (αx2 + βz2) = 0
Por otro lado, repitiendo el razonamiento, multiplicamos por α la ecuación 3x3 = x2 + 2x1 y por β la
ecuación 3z3 = z2 + 2z1 tenemos:
3αx3 = α(x2 + 2x1)
3βz3 = β(z2 + 2z1)
Luego sumamos ambas ecuaciones y tenemos
3(αx3 + βz3) = αx2 + βz2 + 2(αx1 + βz1)
Finalmente, el vector resultante de (αX + βZ) ∈ V , por lo que V es un SEV de R3
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Problema 2: combinaciones lineales
(a) Dados X1 =
43
5
 ∈ R3 y X2 =
26
0
 ∈ R3, encuentre β para que
9β
3
 ∈ L({X1,X2}).
Respuesta:
El hecho que (9, β, 3)t ∈ L({X1,X2}) corresponde a decir que existen α1 y α2 tal que9β
3
 = α1
43
5
+ α2
26
0
 ⇒
9β
3
 =
4α1 + 2α23α1 + 6α2
5α1
 ,
por lo que
4α1 + 2α2 = 9 (1)
3α1 + 6α2 = β (2)
5α1 = 3 (3)
Aśı, de (3) tenemos que α1 =
3
5 , que usado en (1) implica que α2 =
33
10 . Luego, por (2) tenemos
que
β = 3 ∗ 3
5
+ 6 ∗ 33
10
=
108
5
.
(b) Dados X1 =
1α
3
 ∈ R3 y X2 =
12
3
 ∈ R3, encuentre α para que
25
4
 ∈ L({X1,X2}).
Respuesta:
El hecho que
25
4
 ∈ L({X1,X2}) corresponde a decir que existen α1 y α2 tal que
25
4
 = α1
1α
3
+ α2
12
3
 ⇒
25
4
 =
 α1 + 2α2α1 α+ 2α2
3α1 + 3α2
 ,
por lo que
α1 + 2α2 = 2 (4)
α1 α+ 2α2 = 5 (5)
3α1 + 3α2 = 4 (6)
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Usando las ecuaciones (4) y (6) podemos encontrar α1 y α2 Con esto tenemos que: α1 =
2
3 y
α2 =
2
3
Usando todo lo anterior en (5) tenemos que:
α1 α+ 2α2 = 5 ⇒
2
3
α+ 2
2
3
= 5 ⇒ α = 11
2
.
(c) Dados los vectores X1,X2,X3 ∈ Rn, definamos los vectores
v1 = X1, v2 = X1 −X2 ∧ v3 = X1 −X2 −X3.
Explique por qué se cumple lo siguiente: L({X1,X2,X3}) = L({v1,v2,v3}).
Respuesta:
Las combinaciones lineales de v1, v2 y v3 son los vectores de la forma
α1v1 + α2v2 + α3v3,
donde α1, α2 y α3 son escalares arbitrarios. Reemplazando por la definición, esas combinaciones
lineales corresponden a lo siguiente:
α1X1 + α2(X1 −X2) + α3(X1 −X2 −X3) = (α1 + α2 + α3)X1 + (−α2 − α3)X2 − α3X3,
donde, como sabemos, los coeficientes α1, α2 y α3 son arbitrarios. Por este hecho (arbitrariedad
de los coeficientes), ocurre que β1 = α1 + α2 + α3, β2 = −α2 − α3 y β3 = −α3 son también
coeficientes arbitrarios, por lo que las combinaciones lineales de v1, v2 y v3 corresponden a las
combinaciones lineales de X1, X2 y X3 usando los coeficientes β1, β2 y β3 ya indicados. Es decir,
las combinaciones lineales v1, v2 y v3 coinciden con las combinaciones lineales X1, X2 y X3.
(d) Determine para que valores de α y β el subespacio vectorial
V = L
({(
α+ β
2α
)
,
(
4β
8α
)})
es igual a {02}, o es una recta que pasa por el origen, o es igual a R2.
Respuesta:
Sabemos que V es el conjunto de vectores de R2 que se pueden obtener como combinación lineal
de los vectores
X1 =
(
α+ β
2α
)
y X2 =
(
4β
8α
)
.
Por lo tanto,
(i) V = R2 si y solamente si {X1, X2} es un conjunto linealmente independiente, lo cual es
equivalente a pedir que (α+ β) ∗ (8α)− (2α) ∗ (4β) ̸= 0. Aśı, V = R2 si y solo si α ̸= 0.
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(ii) V es una recta que pasa por el origen si y solamente si {X1, X2} es linealmente dependiente
y no ambos vectores son iguales a 02. El conjunto {X1, X2} es l.d. si y solamente si α = 0
(ver ı́tem anterior). Además, cuando α = 0,
X1 =
(
β
0
)
y X2 =
(
4β
0
)
.
Por lo tanto, V es una recta que pasa por el origen si y solo si α = 0 y β ̸= 0.
(iii) V = {02} si y solamente si X1 = X2 = 02, lo cual ocurre cuando α = β = 0.
□
(e) supongamos que X1, X2, X3, X4 ∈ Rn son vectores LI.
Demuestre que: {X1, X1 + 3X2, X1 + 3X2 − 4X3, X1 + 3X2 − 4X3 + 5X4} son LI
Respuesta:
Se debe comprobar cuales son los valores de alfa que cumplen la siguiente condición:
α1X1 + α2(X1 + 3X2) + α3(X1 + 3X2 − 4X3) + α4(X1 + 3X2 − 4X3 + 5X4) = 0n
De la primera igualdad reordenando la expresión de la izquierda se llega:
(α1 + α2 + α3 + α4)X1 + (3α2 + 3α3 +−3α4)X2 + (−4α3 +−4α4)X3 + 5α4X4 = 0n
Como los vectores X1;X2;X3;X4 ∈ Rn, son vectores L.I. entonces se cumple que:
(α1 + α2 + α3 + α4) = 0 ∧ (3α2 + 3α3 + 3α4) = 0 ∧ (−4α3 +−4α4) = 0 ∧ 5α4 = 0
Por lo tanto, la única solución factible a este sistema de ecuaciones es que:
α1 = 0 ∧ α2 = 0 ∧ α3 = 0 ∧ α4 = 0
Finalmente, queda demostrado que le conjunto propuesto es LI.
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Problema 3:producto interno - norma
Considere dos vectores no nulos cualesquiera (X e Y ) en un espacio vectorial.
Demuestre que:
1. ∥X + Y ∥2 + ∥X − Y ∥2 = 2∥X∥2 + 2∥Y ∥2 (Identidad del paralelogramo)
Respuesta:
∥X + Y ∥2 + ∥X − Y ∥2 = (X + Y ) · (X + Y ) + (X − Y ) · (X − Y )
Definición de Norma
= [X ·X +X · Y + Y ·X + Y · Y ] + [X ·X −X · Y − Y ·X + (−Y ) · (−Y )]
Propiedades del P. Interno
= [∥X∥2 + 2(X · Y ) + ∥Y ∥2] + [∥X∥2 − 2(X · Y ) + ∥Y ∥2]
Definición de Norma
= 2∥X∥2 + 2∥Y ∥2
Como se queŕıa demostrar.
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Problema 4: dependencia lineal
(a) Encuentre β ∈ R para que los vectores
X1 =
(
2
β − 3
)
∈ R2, X2 =
(
5
β
)
∈ R2
sean l.d. Por otro lado, encuentre β para que esos vectores sean l.i.
Respuesta:
Para el caso de dos vectores de R2, digamos,
v1 =
(
a
b
)
v2 =
(
c
d
)
,
sabemos que son linealmente independientes śı y solo śı
a ∗ d− b ∗ c ̸= 0,
por lo que son l.d śı y solo śı a∗d−b∗c = 0. Por lo tanto, X1 =
(
5
β
)
∈ R2 y X2 =
(
2
β − 3
)
∈
R2 son l.d cuando
5 ∗ (β − 3)− 2 ∗ β = 0 ⇒ 3β − 15 = 0 ⇒ β = 5.
Luego, los vectores on l.i cuando β ̸= 5.
(b) ¿Para qué valores de α y β ocurre que los vectores X1 =
 4β
10
 ∈ R3 y X2 =
2α6
2
 ∈ R3 son
l.d.? ¿Para qué valores de α y β los vectores son l.i.?
Respuesta:
Una forma de verlo es como sigue: ya que se trata de dos vectores, son l.d cuando uno de ellos
es un múltiplo del otro, es decir, existe γ ∈ R tal que
X1 = γX2 ⇒
 4β
10
 = γ
2α6
2
 ⇒
4 = γ 2α (7)
β = γ 6 (8)
10 = γ 2 (9)
De la ecuación (9) tenemos que γ = 5, eso en (8) implica que β = 30 y en (7) implica que
α = 4/10. Luego, los vectores
X1 =
 430
10
 ∈ R3 ∧ X2 =
0, 86
2
 ∈ R3
son l.d. En consecuencia, los vectores son l.d cuando α ̸= 4/10 o bien cuando β ̸= 30.
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(c) Suponiendo que X1,X2 ∈ Rn son vectores l.i, explique por qué si α ̸= 3 ocurre que los vectores
v1 = X1 −X2 y v2 = X1 − α3 X2 son l.i.
Respuesta:
Considere una combinación lineal de v1 y v2 que es 02:
α1v1+α2v2 = 02 ⇒ α1(X1−X2)+α2(X1−
α
3
X2) = 02 ⇒ (α1+α2)X1−(α1+α2
α
3
)X2 = 02.
Ya que X1 y X2 son l.i, lo anterior implica que
α1 + α2 = 0 (10)
α1 + α2
α
3
= 0 (11)
De la ecuación (10) tenemos que α1 = −α2, y eso en la ecuación (11) implica que
−α2 + α2
α
3
= 0 ⇒ α2 (
α
3
− 1) = 0.
Luego, cuando α ̸= 3 (de modo que (α3 − 1) ̸= 0) tenemos que α2 = 0 y, por lo tanto, α1 = 0.
En ese caso ocurre que los vectores v1 y v2 son l.i.
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Problema 5: base y dimensión
(a) Encontrar la base y dimensión del conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3/6x+ 4z = y}
Respuesta:
6x− y + 4z = 0 → z = 1
4
y − 6
4
x
(x, y, z) = (x, y,
1
4
y − 6
4
x)
(x, y, z) = x(1, 0,−6
4
) + y(0, 1,
1
4
)
→ A = {(1, 0,−6
4
), (0, 1,
1
4
)};Dimensión = 2
(b) Encontrar la base y dimensión del conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3/4x− 2z = −2y}
Respuesta:
→ z = 2x+ y
(x, y, z) = (x, y, 2x+ y)
(x, y, z) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 1)
→ B = {(1, 0, 2), (0, 1, 1)};Dimensión = 2
(c) Encontrar la base y dimensión del conjunto C = {(x, y, z) ∈ R3/2x+ 2y = 2z; 4y = 8x}
Respuesta:
→ z = x+ y; y = 2x → z = x+ 2x = 3x
(x, y, z) = (x, 2x, 3x)
(x, y, z) = x(1, 2, 3)
→ C = {(1, 2, 3)};Dimensión = 1
(d) Encontrar la base y dimensión del conjunto
D = {p(x) :polinomios de grado 2 / p(1) = p(−1)}
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Respuesta:
p(x) = ax2 + bx+ c
p(1) = p(−1) → a+ b+ c = a− b+ c
→ b = −b → b = 0
→ p(x) = ax2 + bx+ c = ax2 + c = a(x2) + c · 1
→ D = {(x2), 1};Dimensión = 2
(e) Encontrar 2 bases distintas y la dimensión del conjunto
G = {(a, b, c, d) ∈ R4/a = 3d; b = 7c}
Respuesta:
a = 3d; b = 7c
→ (a, b, c, d) = (3d, 7c, c, d) = d(3, 0, 0, 1) + c(0, 7, 1, 0)
→ D = {(3, 0, 0, 1), (0, 7, 1, 0)};Dimensión = 2
O también
a = 3d → d = a
3
; b = 7c → c = b
7
→ (a, b, c, d) = (a, b, b
7
,
a
3
) = a(1, 0, 0,
1
3
) + b(0, 1,
1
7
, 0)
→ D = {(1, 0, 0, 1
3
), (0, 1,
1
7
, 0)};Dimensión = 2
(f) Encontrar 2 bases distintas y la dimensión del conjunto
I = {(a, b, c, d) ∈ R4/a = 90d; b = 45d}
Respuesta:
a = 90d; b = 45d
→ (a, b, c, d) = (90d, 45d, c, d) = d(90, 45, 0, 1) + c(0, 0, 1, 0)
→ D = {(90, 45, 0, 1), (0, 0, 1, 0)};Dimensión = 2
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(g) Encontrar la base y dimensión del conjunto
G = {(a, b, c, d) ∈ R4/a+ b = 5c; 7d = a}
Respuesta:
a+ b− 5c = 0; 7d = a → c = a+ b
5
; d =
a
7
→ (a, b, c, d) = (a, b, a+ b
5
,
a
7
) = a(1, 0,
1
5
,
1
7
) + b(0, 1,
1
5
, 0)
→ G = {(1, 0, 1
5
,
1
7
), (0, 1,
1
5
, 0)};Dimensión = 2
(h) Determine β para que los vectores
X1 =
(
7
2β
)
∈ R2, X2 =
(
5
β − 2
)
∈ R2
sean una base de R2.
Respuesta:
Ya que se trata de dos vectores de R2, para que sean una base basta con que ellos sean l.i
(eso porque la dimensión de R2 y, por lo tanto, todas las bases de R2 tienen dos elementos).
Usando la propiedad que nos permite caracterizar cuando dos vectores de R2 son l.i tenemos
que X1 y X2 conforman una base de R2 siempre y cuando:
7 ∗ (β − 2)− 2β ∗ 5 ̸= 0 ⇒ −14− 3β ̸= 0 ⇒ β ̸= −14
3
.
(i) Explique por qué si X1,X2 es una base de R2, entonces los vectores v1 = X1 + X2 + 02 y
v2 = X1 −X2 también son una base de R2.
Respuesta:
Primero que todo tenemos un neutro aditivo. Ya que X1,X2 es una base de R2, para ver que
v1 = X1+X2 y v2 = X1−X2 es una base de R2 basta con ver que estos son l.i (dos vectores
l.i de R2 son una base de ese espacio vectorial). Luego, considere la siguiente combinación
lineal
α1v1+α2v2 = 02 ⇒ α1(X1+X2)+α2(X1−X2) = 02 ⇒ (α1+α2)X1+(α1−α2)X2 = 02.
Como X1,X2 es una base de R2 tenemos que son l.i. Por lo tanto, de lo anterior tenemos que
(i) : α1 + α2 = 0 ∧ (ii) : α1 − α2 = 0.
Resolviendo el sistema anterior, es directo que α1 = α2 = 0, por lo que los vectores v1 y v2
son l.i, y por lo tanto una base de R2.
(j) Explique por qué
X1 =
(
2
1
)
∈ R2, X2 =
(
1
2
)
∈ R2
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es una base de R2. Dado esto, para una vector cualquiera
X =
(
a
b
)
∈ R2
encuentre α1 y α2 tal que
X = α1X1 + α2X2.
Respuesta:
Es directo ver que esos vectores son una base de R2, ya que ambos son l.i por el hecho que
2 ∗ 2− 1 ∗ 1 = 1 ̸= 0.
Por lo anterior, ya que X1 y X2 conforman una base de R2, para X =
(
a
b
)
∈ R2 deben
existir los coeficientes α1 y α2 tal que X = α1X1 + α2X2. Como se indica, el problema es
encontrar esos coeficientes para explicar el vector X:
α1
(
2
1
)
+ α2
(
1
2
)
=
(
a
b
)
⇒
(
2α1 + α2
α1 + 2α2
)
=
(
a
b
)
⇒
2α1 + α2 = a (12)
α1 + 2α2 = b (13)
De (12) tenemos que 2α1 = a− α2, y eso en (13) implica que
(a/2−α2/2)+2α2 = b ⇒ α2 = 2b/3− a/3 ⇒ α1 = a− (2b/3− a/3) = 2a/3− 2b/3.
Sobre la base de lo anterior, Ud. puede verificar que(
a
b
)
= (2a/3− 2b/3)︸ ︷︷ ︸
α1
(
2
1
)
+ (2b/3− a/3)︸ ︷︷ ︸
α2
(
1
2
)
.
(k) Indique, y justifique, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa:
(k1) Si {X1, X2, . . . , Xk} es una base de R7 entonces k = 7.
(k2) Si {X1, X2, . . . , Xk} genera R9 entonces k = 9.
(k3) Si {X1, X2, . . . , Xk} son vectores l.i de R14 entonces k ≤ 14.
Respuesta:
Se tiene que:
(d1) Verdadero, ya que todas las bases de R7 deben tener 7 elementos, es decir, k = 7.
(d2) No necesariamente, ya que para generar R9 se podŕıan ocupar 9 o más vectores. Si
usamos más de 9, a pesar de que generan ocurre que esos vectores son l.d. Si ocupamos
exactamente 9, los vectores son l.i y por ende una base. En ningún caso uno podŕıa
generar R9 con menos de 9 vectores.
(d3) Verdadero, ya que en R14 a lo más 14 vectores pueden ser l.i. (un conjunto con 15 o
más vectores es l.d).
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