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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Solemne 2: Métodos Matemáticos II (ENMEM155)
Otoño 2022
Preguntas de desarrollo:
Problema 1 (10 puntos)
Determine si el siguiente conjunto V es un subespacio vectorial de R3. En caso de no serlo establezca las
condiciones para que lo sea.
V = {(p, q, r) ∈ R3/p = −q ∧ 3r = q + 2p}
Respuesta.
En efecto
(0, 0, 0) ∈ R3, 0 = 0 ∧ 3 · 0 = 0 + 2 · 0
Luego
(0, 0, 0) ∈ V
Sean los vectores X = (x1, x2, x3) ∈ V ∧ Z = (z1, z2, z3) ∈ V y los reales α, β, mostremos que
(αX + βZ) ∈ V
En efecto, dado que X,Z ∈ V se cumple que
x1 = −x2
3x3 = x2 + 2x1
z1 = −z2
3z3 = z2 + 2z1
Luego
αX + βZ = (αx1 + βz1, αx2 + βz2, αx3 + βz3)
Para que αX + βZ ∈ V se debe cumplir que:
(αx1 + βz1) = −(αx2 + βz2)
3(αx3 + βz3) = (αx2 + βz2) + 2(αx1 + βz1)
Multiplicando por α la ecuación x1 = −x2 y por β la ecuación z1 = −z2 tenemos:
αx1 = −αx2
βz1 = −βz2
Luego sumamos ambas ecuaciones y tenemos
(αx1 + βz1) = −(αx2 + βz2)
Por otro lado, repitiendo el razonamiento, multiplicamos por α la ecuación 3x3 = x2+2x1 y por β la ecuación
3z3 = z2 + 2z1 tenemos:
3αx3 = α(x2 + 2x1)
3βz3 = β(z2 + 2z1)
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Luego sumamos ambas ecuaciones y tenemos
3(αx3 + βz3) = αx2 + βz2 + 2(αx1 + βz1)
Finalmente, el vector resultante de (αX + βZ) ∈ V , por lo que V es un SEV de R3
Problema 2 (10 puntos)
Dados X1 =
α2
6
 ∈ R3 y X2 =
11
1
 ∈ R3, encuentre α para que
05
4
 ∈ L({X1,X2}).
Respuesta. El hecho que
05
4
 ∈ L({X1,X2}) corresponde a decir que existen α1 y α2 tal que
05
4
 = α1
α2
6
+ α2
11
1
 ⇒
05
4
 =
α1 α+ α22α1 + α2
6α1 + α2
 ,
por lo que
α1 α+ α2 = 0 (1)
2α1 + α2 = 5 (2)
6α1 + α2 = 4 (3)
Usando las ecuaciones (3) y (2) podemos encontrar α1 y α2, y con esos valores en (1) podemos obtener α.
6α1 + (5− 2α1) = 4 ⇒ 4α1 = −1 ⇒ α1 = −
1
4
⇒ α2 = 5 +
1
2
=
11
2
.
Usando todo lo anterior en (1) tenemos que:
α1 α+ α2 = 0 ⇒ −
1
4
α+
11
2
= 0 ⇒ α = 22.
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Problema 3 (10 puntos)
Encuentre α ∈ R para que los vectores
X1 =
(
7
α
)
∈ R2, X2 =
(
2
α− 3
)
∈ R2
sean l.d. Por otro lado, encuentre α para que esos vectores sean l.i.
Respuesta. Para el caso de dos vectores de R2, digamos,
v1 =
(
a
b
)
v2 =
(
c
d
)
,
sabemos que son linealmente independientes śı y solo śı
a ∗ d− b ∗ c ̸= 0,
por lo que son l.d śı y solo śı a ∗ d− b ∗ c = 0. Por lo tanto, X1 =
(
7
α
)
∈ R2 y X2 =
(
2
α− 3
)
∈ R2 son l.d
cuando
7 ∗ (α− 3)− 2 ∗ α = 0 ⇒ 5α− 21 = 0 ⇒ α = 21
5
.
Luego, los vectores on l.i cuando α ̸= 215 .
Problema 4 (10 puntos)
Considere dos vectores no nulos cualesquiera (X e Y ) en un espacio vectorial.
Demuestre que se cumple la Identidad del paralelogramo:
∥X + Y ∥2 + ∥X − Y ∥2 = 2∥Y ∥2 + 2∥X∥2
Respuesta.
∥X + Y ∥2 + ∥X − Y ∥2 = (X + Y ) · (X + Y ) + (X − Y ) · (X − Y )
Definición de Norma
= [X ·X +X · Y + Y ·X + Y · Y ] + [X ·X −X · Y − Y ·X + (−Y ) · (−Y )]
Propiedades del P. Interno
= [∥X∥2 + 2(X · Y ) + ∥Y ∥2] + [∥X∥2 − 2(X · Y ) + ∥Y ∥2]
Definición de Norma
= 2∥X∥2 + 2∥Y ∥2
= 2∥Y ∥2 + 2∥X∥2
Como se queŕıa demostrar.
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Problema 5 (10 puntos)
Encontrar la base y dimensión del conjunto P = {(x, y, z) ∈ R3/x− y = z; y = 8x}
Respuesta.
→ y = x− z; y = 8x → x− z = 8x → z = −7x
(x, y, z) = (x, 8x,−7x)
(x, y, z) = x(1, 8,−7)
→ C = {(1, 8,−7)};Dimensión = 1
Problema 6 (10 puntos)
Sea W = {(x, y, z) ∈ R3/2x− y + z = 0}. Demuestre que W es un subespacio vectorial de R3
Respuesta.
En efecto
(0, 0, 0) ∈ R3, 2 · 0− 0 + 0 = 0
Luego
(0, 0, 0) ∈ W
los vectores X = (x1, x2, x3) ∈ W ∧ Z = (z1, z2, z3) ∈ W y los reales α, β, mostremos que
(αX + βZ) ∈ W
En efecto, dado que X,Z ∈ W se cumple que
2x1 − x2 + x3 = 0
2z1 − z2 + z3 = 0
Luego
αX + βZ = (αx1 + βz1, αx2 + βz2, αx3 + βz3)
Para que αX + βZ ∈ W se debe cumplir que:
2(αx1 + βz1)− (αx2 + βz2) + (αx3 + βz3) = 0
Multiplicando por α la ecuación 2x1 − x2 + x3 = 0 y por β la ecuación 2z1 − z2 + z3 = 0 tenemos:
2αx1 − αx2 + αx3 = 0
2βz1 − βz2 + βz3 = 0
Luego sumamos ambas ecuaciones y tenemos
2(αx1 + βz1)− (αx2 + βz2) + (αx3 + βz3) = 0
Finalmente, el vector resultante de (αX + βZ) ∈ W , por lo que W es un SEV de R3
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