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11.2 Primeras propiedades de los valores y vectores propios
11.2. Primeras propiedades de los valores y vecto-
res propios
1. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K de dimensión finita n y f :
E → E un endomorfismo. Demostrar que si B es una base de E formada
por vectores propios de f , entonces la matriz de f en la base B es diagonal.
2. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y f : E → E un endomorfismo.
Sea λ valor propio de f . Demostrar que Vλ = {x ∈ E : f(x) = λx} es
subespacio vectorial de E.
3. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y f : E → E un endomorfismo
que admite m valores propios distintos λ1, . . . , λm. Sea S = {x1, . . . , xm} en
donde para cada i = 1, . . . ,m, xi es vector propio asociado a λi. Demostrar
que S es un sistema libre.
Solución. 1. Sea B = {e1, e2, . . . , en} una base de E formada por vectores
propios de f . Por definición de vector propio, existen escalares λ1, λ2, . . . , λn
tales que 
f(e1) = λ1e1
f(e2) = λ2e2
. . .
f(en) = λnen.
Transponiendo coeficientes, obtenemos la matriz de f en B :
D =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
0 0 . . . λn
 (matriz diagonal).
2. Un vector x de E pertenece a Vλ si y sólo si f(x) = λx. Pero
f(x) = λx⇔ f(x)− λx = 0⇔ (f − λI)(x) = 0⇔ x ∈ ker(f − λI),
y el núcleo de toda aplicación lineal sabemos que es un subespacio del espa-
cio inicial.
3. El resultado es cierto para m = 1. En efecto, como x1 6= 0 de la igualdad
α1x1 = 0 se deduce α1 = 0, luego S = {x1} es un sistema libre. Sea cierta
la propiedad para m− 1 y consideremos la igualdad
α1x1 + . . .+ αnxm = 0. (1)