Analisis-cuad-1-polinomios - Perla Campos

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Análisis Matemático
Cuadernillo 1
Polinomios
1
TEMA PÁGINA
1) Polinomios
a) Definiciones 2
b) Operaciones con Polinomios
i) Suma 4
ii) Resta 4
iii) Multiplicación 5
iv) Productos especiales: Diferencia de cuadrados 5
v) Potenciación 5
(1) Cuadrado de un binomio: 6
(2) Cubo de un binomio: 6
vi) División
(1) División de un polinomio por un monomio 7
(2) División de dos polinomios 7
(3) División de polinomios por la regla de Ruffini. 9
(4) Teorema del resto 10
2) Factoreo de Polinomios
a) Factor común 11
b) Factor común por grupos 12
c) Diferencia de cuadrados 13
d) Trinomio cuadrado perfecto 13
e) Factorización de un trinomio de segundo grado 14
f) Teorema de Gauss 16
RM: Recurso multimedia
2
1) Polinomios
1.a) Definiciones
Monomio : Es una expresión formada por un número real y/o una o más letras elevadas
a un exponente entero y positivo
Por ejemplo: 1
4
x2 ; −3xy5 ; √2a
3b
Monomios semejantes: Su parte literal es igual (las mismas letras elevadas a los
mismos exponentes)
Por ejemplo: 3
5
x4 ; −
1
6
x4
Un polinomio es una suma algebraica de monomios por ejemplo
 P(x)=6 x3−2x5+7 x−1
 Q(a)=−3
4
a4+2a
Grado de un polinomio: Es el máximo exponente que aparece en las letras.
Por ejemplo, el polinomio P(x) es de grado 5, mientras que Q(a) es de grado 4
Coeficiente principal: Es el número que acompaña a la letra de mayor exponente. En
P(x) es -2; en Q(a) es −3
4
.
Término independiente: Es el término formado únicamente por un número (no tiene
letras). En P(x) es -1; en Q(a) es cero.
Polinomio ordenado y completo: Se ordenan los términos desde el que tiene el mayor
exponente en forma decreciente, y se completa con cero para aquellos que no figuran.
3
Nuestros dos ejemplos quedarían así:
 P(x)=−2x5+0 x4+6 x3+0 x2+7 x−1
 Q(a)=−3
4
a4+0a3+0a2+2a
Valor numérico de un polinomio: Es el que resulta de reemplazar la variable por un
número.
Por ejemplo:
P(3)=−2.35+6.33+7.3−1=−304
 Q(−1)=−3
4
.(−1)4+2.(−1)=−
11
4
Ceros o raíces de un polinomio : Son los valores numéricos para los cuales el polinomio
vale cero.
Para calcularlas, igualamos el polinomio a cero y despejamos la
variable.
Por ejemplo:
P(x)=x3−4 x
Igualamos a cero y despejamos:
x3−4 x=0
Sacamos x como factor común:
x (x2−4)=0
Para que un producto dé cero, al menos uno de sus factores debe ser cero, entonces:
x=0 o x2−4=0
 
x2=4
|x|=√4
x=−2 ; x=2
 
Entonces P(x) tiene tres raíces: -2, 0 y 2.
Esto significa que si reemplazamos x por cualquiera de estos tres valores obtendremos
cero como resultado.
El número máximo de raíces que puede tener un polinomio coincide con su grado. 
4
RM1: Polinomios 1
https://youtu.be/l8cU8zDf3fA
1.b) Operaciones con Polinomios
1.b.i) Suma 
Sólo pueden sumarse los monomios semejantes 
 −4 x2+10 x2=6 x2
Por ejemplo:
P(x)=6 x4−2x3+6 x−7
Q(x)=−2x4+x3−x2+4 x
P(x)+Q(x )=−2 x4+6 x4−2 x3+x3+6 x+4 x−x2+7
P(x)+Q(x )=4 x4−x3+10 x−x2+7
1.b.ii) Resta
Al igual que en la suma, solo pueden restarse entre si monomios semejantes. Para
restar polinomios de manera sencilla, podemos cambiar todos los signos del segundo
polinomio y luego sumar:
P(x) → 6 x4−2 x3+0 x2+6 x−7
−Q( x) → 2 x4− x3+ x2−4 x
P ( x)−Q( x)=8 x4−3 x3+x2+2 x−7
1.b.iii) Multiplicación
Para la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto de la
suma y de la resta, recordando que el producto de potencias de igual base se suman los
exponentes:
(4 x3−5x2+8). (2 x2−5 x)=8 x5−10 x4+16 x2−20x4+25x3−40 x
Una vez que multiplicamos, agrupamos los términos semejantes.
=8 x5−30 x4+25x3+16 x2−40 x
 
5
1.b.iv) Productos especiales: Diferencia de cuadrados
Si se multiplica un binomio por otro binomio igual pero con uno de los signos
cambiados, se obtiene una “diferencia de cuadrados”
(a+b).(a−b)=a2+ab−ab−b2
( a+b) .(a−b)=a2−b2
Por ejemplo:
(2x5−4) .(2 x5+4)=(2x5)2−42=4 x10−16
 
1.b.v) Potenciación
Debemos recordar que la potenciación NO es distributiva con respecto a la suma ni a la
resta, entonces, para elevar al cuadrado un binomio, debemos multiplicarlo por sí
mismo: 
(1) Cuadrado de un binomio 
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2
Agrupamos los términos semejantes y queda:
(a+ b)2=a2+2ab+ b2
De igual manera, para la resta:
(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+ b2
 
6
RM2: Polinomios 2
https://youtu.be/V2NfaDIfqbg
(2) Cubo de un binomio 
De la misma manera que con el cuadrado, para obtener el cubo de un binomio debe
multiplicarse la expresión por sí misma, tres veces:
(a+b )3=(a+b ) . (a+b ) . (a+b )
El resultado que se obtiene, luego de multiplicar y agrupar los términos semejantes, es
el siguiente:
( a+b)3=a3+3a2b+3 ab2+b3
(a−b)3=a3−3 a2b+3 ab2−b3
 
7
RM3: Polinomios 3
https://youtu.be/FpR2jn1UcFo
 1.b.vi) División
(1) División de un polinomio por un monomio:
Esta operación se realiza aplicando la propiedad distributiva, recordando que en el
cociente de potencias de igual base se restan los exponentes.
(12x5−12 x
4+5x3−7x2) : (3x2)=4x3−16 x
2+
5
3
x−
7
3
 
(2) División de dos polinomios
Esta operación es un poco más compleja. Vamos a explicarla con un ejemplo.
P(x)=2x4+6x3−5x2+2
Q(x)=x2−3x
Para hacer P(x) : Q(x), P(x) debe estar ordenado y completo, y Q(x) debe estar ordenado
(no hace falta completarlo)
1º) Dividimos el primer monomio de por el primero de 
2º) Multiplicamos el resultado obtenido por cada uno de los términos de , y lo
colocamos debajo del monomio semejante correspondiente de , pero le cambiamos
el signo.
8
3º) Luego sumamos siempre el primer término se anula.
4º) Repetimos los pasos 1º), 2º) y 3º) con el que ahora quedó como primer término
5º) Repetimos los mismos pasos para 
6º) Cuando en el polinomio dividiendo llegamos a un polinomio de grado menor al del
divisor, se terminó la operación.
En este ejemplo, el cociente es , y el resto de la división es 
9
(3) División de polinomios por la regla de Ruffini. 
Cuando el divisor es del tipo x±a , siendo a cualquier número real, puede efectuarse
la división mediante un mecanismo más sencillo denominado “Regla de Ruffini”
Lo desarrollaremos también mediante un ejemplo:
P(x)=2x5+12x 4+17 x3−3
Q( x)=x+3
P(x) debe estar ordenado y completo
P(x)=2x5+12x 4+17 x3+0 x2+0 x−3
1º) Copiamos los coeficientes numéricos de P(x) , en una tablita como la que figura a
continuación, y escribimos el término independiente de Q(x) con el signo opuesto al
que tiene.
2 12 17 0 0 - 3
- 3 - 6 - 18 3 - 9 27
2 6 - 1 3 - 9 24
a) El primer coeficiente se baja igual
b) Multiplicamos el coeficiente bajado por el -3 y colocamos el resultado
debajo del segundo coeficiente
c) Sumamos la columna 
d) A partir de ahora repetimos siempre los mismos pasos b y c:
Multplicamos 6 por (-3) y lo colocamos debajo del 17. Sumamos y nos da -1.
Multiplicamos (-1).(.-3) del cero. Sumamos 0+3=3
Multiplicamos 3.(-3) y nos da -9, sumamos, los colocamos debajo del segundo cero, y
nos da -9.
Multiplicamos (-9).(-3) y nos da 27, lo colocamos debajo del -3, sumamos y obtenemos
24.
10
a
b
c
El último número obtenido es el resto de la división.
El resultado se obtiene completando los coeficientes obtenidos con la variable,
comenzando con un grado menos del que tenía .
Cociente: Resto: 24
(4) Teorema del resto
El Teorema del resto se puede utilizar entre los mismos casos que la Regla de Ruffini. Y
sirve para conocer el resultado de una división sin efectuar la operación. 
El resto de la operación es el valor numérico del polinomio para el opuesto del término
independiente del divisor.
En nuestro ejemplo tenemos
P(x)=2x5+12x 4+17 x3−3
Q( x)=x+3
 
Resto = P(−3)=2.(−3)5+12 .(−3)4+17 .(−3)3−3=24
Este Teorema es útil cuando queremos averiguar si un polinomioes divisible por otro.
En el ejemplo visto, P(x) no es divisible por Q(x) , ya que el resto es distinto de cero.
11
RM4: Polinomios 4
https://youtu.be/zD1iFzrrtmM
2) Factoreo de Polinomios
Factorear significa expresar una suma algebraica como un producto. Si trabajamos con
números:
12 + 5 – 3 = 2 . 7
Es un ejemplo de factoreo.
El concepto es el mismo para los polinomios, pero aquí la operatoria es más compleja
por eso vamos a ver diferentes casos de factoreo.
2.a) Factor común
El “factor común” es un elemento que multiplica a todos los términos del polinomio.
 P(x)=6 x5+12 x4−9x2
Podemos expresar:
6 x5=3 x2 . 2 x3
12x4=3 x2 . 4 x2
9 x2=3 x2 .3
P(x)=3x2 .2 x3+3x2 . 4 x2−3 x2 .3
El monomio 3 x2 es nuestro factor común, ya que multiplica a todos los términos.
Entonces podemos expresar P(x) como:
P(x)=3 x2 .(2x3+4 x2−3)
Sacar un factor común es realizar la operación inversa a la distributiva
En efecto, si multiplicamos:
3 x2(2 x3+4 x2−3)=6x5+12 x4−9 x2
Volvemos a nuestro polinomio original.
El factor común es:
12
- De los números: el máximo común divisor
- De las letras: la o las letras que aparecen en todos los términos, elevados
cada una de ellas al menor exponente con que aparecen
2.b) Factor común por grupos
Para poder aplicar este caso, el número de términos del polinomio debe ser par igual o
mayor que 4.
Siempre probamos primero si podemos sacar factor común. Si no se puede, intentamos
agrupar por términos en grupos. Cada uno de estos grupos debe tener el mismo
número de términos, y debe ser posible extraer un factor común en cada uno.
Por ejemplo:
 P(x)=7 x5−10x3+28 x2−40
En este polinomio no es posible extraer un factor común, entonces probamos armar
dos grupos:
P(x)=7 x5+28 x2−10 x3−40
Entre los dos primeros podemos sacar 7 x2 como factor común, y en el segundo
grupo será -10
P(x)=7 x2 .(x3+4)−10(x3+4 )
Nuestro polinomio de 4 términos, quedó transformado en otro de 2 términos, que
posee como factor común: 
P (x )=(x3+4 ) . (7x2−10 )
2.c) Diferencia de cuadrados
Este caso se aplica cuando el polinomio tiene dos términos, ambos cuadrados perfectos
(significa que se puede extraer raíz cuadrada) y tienen signos opuestos.
Ya hemos visto la diferencia de cuadrados en la sección de producto de polinomios.
(a+b)(a−b)=a2−b2
13
En este caso iremos a la inversa, tendremos un polinomio del tipo a2−b2 y lo
convertiremos en (a+b).(a−b) .
Por ejemplo:
P(x)=16 x6−9
Calculamos las raíces cuadradas de ambos términos:
√16x6=4 x3
√9=3
Entonces podemos expresar nuestro polinomio como:
P(x)=16 x6−9=(4 x3+3) .(4 x3−3)
2.d) Trinomio cuadrado perfecto
Si tenemos un polinomio formado por tres términos, y dos de ellos son cuadrados
perfectos, podemos probar si se trata del desarrollo del cuadrado de un binomio, cuya
fórmula (que ya vimos) es:
(a+b )2=a2+2ab+b2
(a−b )2=a2−2ab+b2
 
Por ejemplo, tenemos:
P (x )=25x8−80 x4+64
El primero y el tercer término son cuadrados perfectos:
√25x8=5x4
√64=8
 
Entonces podemos pensar que:
a=5x4
b=8
El término restante tendría que poder obtenerse del doble producto de a.b:
2.a .b=2 .5x4 .8=80 x4
14
Como, efectivamente, coincide, probamos que el polinomio dado es el desarrollo del
cuadrado de un binomio:
P (x )=25x8−80 x4+64=(5x4−8 )
2
 
Para comprobarlo, podemos desarrollar el cuadrado y ver que coincide con P(x)
2.e) Factorización de un trinomio de segundo grado
Un trinomio de segundo grado es un polinomio de tres términos, de grado 2. Podemos
factorizarlo utilizando la fórmula de Bhaskara para calcular sus raíces.
P (x )=ax2+bx+c=a ( x−x1 ) (x−x2)
Ejemplo:
P(x)=
1
3
x2−5x+18 {
a=
1
3
b=−5
c=18
x1; 2=
5±√(−5)2−4 . 13 .18
2.
1
3
x1=6 x2=9
Entonces el polinomio factoreado queda como:
P (x )=
1
3
. ( x−6 ) ( x−9 ) 
Si al aplicar la fórmula de Bhaskara obtenemos una sola raíz, es una raíz doble, y el
polinomio es el desarrollo del cuadrado de un binomio (como vimos en el caso anterior)
Ejemplo:
15
P(x )=5 x2+10 x+5 {
a=5
b=10
c=5
x1; 2=
−10±√102−4.5.5
2.5
=
−10±0
10
=−1
 
Entonces:
P(x)=5x2+10 x+5=5. (x+1)2
2.f) Teorema de Gauss
Cuando tenemos un polinomio al que no podemos aplicarle ninguno de los casos vistos,
buscamos sus raíces mediante el Teorema de Gauss. Éste dice que las posibles raíces
de un polinomio son:
- El término independiente y sus divisores.
- El término principal y sus divisores.
Por ejemplo
P(x)=x3+x2−10 x+8
Posibles raíces: {
±8
±4
±2
±1
 
Probamos usando el teorema del resto, si alguno de estos números es raíz del
polinomio.
P(−1)=(−1)3+(−1)2−10.(−1)+8=18≠0
P(1)=1+1−10+8=0
x = 1 es raíz del polinomio
Cuando ya conocemos una raíz, dividimos por Ruffini
16
1 1 -10 8
1 1 2 -8
1 2 -8 0
Es decir que:
P(x)=x3+x2−10 x+8=( x−1)( x2+2 x−8)
Ahora nos falta factorear . 
En este caso podemos hacer dos cosas:
- Volver a usar el teorema de Gauss
- Factorizarlo como un trinomio de segundo grado. 
La segunda opción es más sencilla:
x2+2 x−8=0
x1; 2=
−2±√22−4.1. (−8)
2.1
x1=−4 ; x2=2
x2+2 x−8=(x+4)(x−2)
Entonces:
P(x)=x3+x2−10 x+8=( x−1) ( x+4 )( x−2)
17
RM5: Factoreo
https://youtu.be/wFMNeybJ_Js
3) Expresiones Algebraicas Racionales (E.A.R.)
3.a) Definición
Una expresión algebraica racional es un cociente de dos polinomios, por ejemplo:
 5 x
4
−x
x2+1
; −
2
x+4
Las operaciones que se efectúan con las E.A.R son semejantes a las que realizamos con
fracciones.
3.b) Operaciones con E.A.R.
 3.b.i) Simplificación 
Para simplificar con EAR; primero factorizamos el numerador y el denominador, y luego
cancelamos los términos iguales.
Ejemplo:
x4−1
3 x3+3 x+3 x2+3
=
(x2−1)(x2+1)
3(x3+ x+x2+1)
=
=
( x+1)(x−1)(x2+1)
3(x2+1)(x+1)
=
x−1
3
3.b.ii) Suma y Resta
Al igual que con las fracciones, para poder sumar o restar EAR debemos calcular el
común denominador, que será mínimo común. Múltiplo de todos los denominadores.
Ejemplo
x−2
x
+
x+2
x2+x
−
x+2
x2+2 x+1
+
2
x+1
=
18
1º] Factoreamos todos los denominadores y buscamos el mcm:
x2+x=x (x+1)
x2+2 x+1=(x+1)2
El mcm es: x (x+1)2
2º] Recordemos como sumamos o restamos con fracciones.
3
8
−
7
5
+
9
4
=
(40 :8) .3(40:5) .7+(40: 4) .9
40
=
15−56+90
40
=
49
40
Con las EAR el concepto es el mismo. 
Debemos dividir el mcm, por ende uno de los denominadores, y luego multiplicarlo por
el numerador.
Una manera sencilla de pensarlo es que en cada fracción multiplicamos el numerador
por lo que “le fata” en el denominador, al compararlo con el mcm.
x−2
x
+
x+2
x(x+1)
−
x+2
(x+1)2
+
2
x+1
=
=
( x−2)(x2+2 x+1)+(x+2)(x+1)−x(x+2)+2x (x+1)
x (x+1)2
=
3º] Resolvemos cada uno de los términos:
x3+2 x2+x−2x2−4 x−2+x2+3x+2−x2−2x+2 x2+2 x
x(x+1)2
=
4º] Agrupamos los términos semejantes, y resolvemos
=
x3+2x2
x (x+1)2
=
5º] Si es posible, factoreamos el numerador, y simplificamos
19
=
x2(x+2)
x (x+1)2
=
x( x+2)
( x+1)2
3.b. iii) Multiplicación
La multiplicación es más sencilla:
1º] Se factorean todos los números y todos los denominadores
2º] Se simplifica cualquier numerador con cualquier denominador
Ejemplo:
x2+4 x+4
7 x2+7 x−14
.
14 x−28
2x+6
.
x3+3x2−x−3
x+1
=
=
( x+2)2
7( x+2)(x−1)
.
14 (x−2)
2(x−3)
.
(x+1)(x−1)(x+3)
x+1
=
=( x+2)( x−2)
3.b.iv) División
Recordemos cómo operamos en la división de fracciones:
Una división de fracciones se transforma en una multiplicación, invirtiendo la segunda
fracción.
Con las EAR operamos del mismo modo
20
x4−16
x2+4 x+4
:
3x2−12 x+12
6 x+12
=
x4−16
x2+4 x+4
.
6 x+12
3x2−12 x+12
=
=
( x2+4)(x2−4 )
(x+2)2
.
6(x+2)
3(x−2)2
=
(x2+4)(x+2)(x−2)
(x+2)2
.
6(x+2)
3(x−2)2
=
=
2( x2+ 4)
x−2
3.b.v) Operaciones combinadas con EAR
En las operaciones combinadas con EAR se siguen las mismas reglas que con las
operaciones con fracciones.
Ejemplo:
(2x
2
x2−x
+
1
x−1 ) .
x2−1
2x3+x2
Resolvemos el paréntesis
( 2x
2
x(x−1)
+
1
x−1 ).
x2−1
2x3+x2
=
=
2 x2+x
x( x−1)
.
x2−1
2x3+x2
=
Ahoranos quedó una multiplicación, entonces factoreamos todo para poder simplificar:
=
x (2 x+1)
x (x−1)
.
(x+1)(x−1)
x2(2 x+1)
=
=
x+1
x2
 
21
RM6: Operaciones 
con EAR
https://youtu.be/zMq7IGtgPkY
https://youtu.be/zMq7IGtgPkY