Tema 7 - Programación lineal - clase teórico práctica - Agostina Salas

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Unidad 7: 
Sistema de inecuaciones lineales. 
Programación lineal
Inecuaciones lineales. Conjunto solución. Representación gráfica. Sistemas de inecuaciones con dos variables. Solución analítica y gráfica. Programación lineal. Enfoque geométrico. Solución gráfica. Puntos extremos. Solución óptima. Método de punto en la esquina. Aplicaciones económicas.
Todo lo que estudiamos en el desarrollo de AGA datan de cientos de años.
En esta unidad tenemos la oportunidad de examinar, aunque brevemente, un tema que tiene su origen en el siglo XX.
La PL, como muchas otras ramas de la Matemática, se originó en un intento por resolver problemas prácticos, a diferencia de la matemática de siglos anteriores, a menudo enraizadas en las ciencias como la Física y la Astronomía, la PL se creó a partir de un esfuerzo por resolver problemas relacionados con negocios, economía y planeación militar (por citar algunos).
Cabe señalar que la palabra “programación” no se refiere a un programa de computadoras sino a un programa de acción a fin de maximizar o minimizar costos, recursos, etc. Proviene de la terminología militar de la época de la Segunda Guerra Mundial, durante la cual el entrenamiento, el abastecimiento y los planes de despliegue eran llamados programas. Cada programa era una asignación de recursos.
La programación lineal fue desarrollada por George Dantzig al final de la década de 1940, y la Fuerza Aérea de los Estados Unidos fue quién la utilizó por primera vez en la II Guerra Mundial a fin de reducir costos y aumentar las pérdidas del enemigo. Por esa razón se mantuvo en secreto hasta 1947.
En 1975 Kantorovich y Koopmans ganaron el premio Nobel de Economía por su trabajo en el desarrollo de esta técnica.
Esta técnica de modelado es probablemente la aplicación más importante de sistemas de desigualdades lineales.
1
Objetivos de la unidad
Desarrollar la habilidad de razonar matemáticamente para CONSTRUIR modelos matemáticos que permitan resolver e interpretar problemas sobre cuestiones económicas o administrativas empleando la PL.
Aplicar, integrando, los conceptos de ecuaciones, inecuaciones, funciones, matrices, determinantes y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones en problemas de programación lineal.
2
Inecuaciones lineales con una variable
Solución:
Número infinito de elementos.
Se representan en notación de conjuntos o de intervalos
Corresponden a 
segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.
Lo vimos en la unidad I
Ecuación
Inecuación 
o desigualdad algebraica
Se escribe:
Relación de la forma:
Solución:
elemento único
Puede representarse mediante 
un punto en la recta numérica
Ejemplos:
Conj. Solución:
Conj. Solución:
o 
3
La suma de tres números ha de ser mayor que 10. El segundo es la mitad del primero, y el tercero el triple del segundo. 
Encuentra las soluciones y elige algunos ejemplos numéricos, comprobando que se cumplan las condiciones pedidas.
⇒
➤ Si 
➤ Si 
	a	b	c	suma
				
				
				
Ejemplos numéricos:
4
 
2
6
12
6
3
9
18
7
3,5
10,5
21
Ejercicio 1
4
Inecuaciones lineales
Con dos variables:
Una desigualdad lineal, o una inecuación lineal, con las variables x e y puede escribirse de una de las siguientes formas:
Siendo .
El conjunto solución de una desigualdad con dos variables está compuesta por todos los puntos del plano cuyas cooordenadas satisfacen la desigualdad.
La gráfica de la ECUACIÓN LINEAL 
 (recta)
divide al plano en dos semiplanos.
Uno de ellos es solución de la inecuación.
5
La gráfica de una recta separa al plano en tres partes distintas.
1) La recta misma:
Inecuaciones lineales con dos variables – Solución gráfica
2) La región por encima de la recta:
3) El semiplano por debajo de la recta: 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la inecuación 
Si la desigualdad es estricta: 
( o )
La recta no está incluida en la solución de la desigualdad y se representa con linea de puntos
El semiplano solución es ABIERTO.
La solución , la solución consiste en la recta y en el semiplano por debajo de ella. 
La solución , la solución consiste en la recta y en el semiplano por encima de ella. 
6
La gráfica de una recta separa al plano en tres partes distintas.
Si la desigualdad NO es estricta: 
( o )
La solución , la solución consiste en la recta y en el semiplano por debajo de ella. 
El semiplano solución es CERRADO.
La solución , la solución consiste en la recta y en el semiplano por encima de ella. 
La recta SI está incluida en la solución de la desigualdad y se representa con linea continua.
Inecuaciones lineales con dos variables – Solución gráfica
1) La recta misma:
2) La región por encima de la recta:
3) El semiplano por debajo de la recta: 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la inecuación 
7
La gráfica de una recta separa al plano en tres partes distintas.
Los semiplanos que quedan determinados son DISYUNTOS (o disjuntos) , 
es decir, no tienen ningún punto en común.
Inecuaciones lineales con dos variables – Solución gráfica
1) La recta misma:
2) La región por encima de la recta:
3) El semiplano por debajo de la recta: 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad 
puntos (x;y) cuyas coordenadas satisfacen la inecuación 
8
¿Qué condición debe cumplir un número “y” para que sea siempre menor que el doble de otro número “x”, menos 1?
Indicar de qué manera se representa una inecuación que involucra una variable y de qué manera se representa una inecuación que involucra dos variables en relación lineal.
Ejercicio 2
	x	0	1	2	3
	y				
Ejemplos:
Representación Inecuación
Una variable
Dos variables
Intervalo o unión de intervalos en la recta real
∞ soluciones
Todos los puntos (x; y) del plano, cuyas coordenadas satisfacen dicha desigualdad 
9
¿Qué condición debe cumplir un número “y” para que sea siempre menor que el doble de otro número “x”, menos 1?
Indicar de qué manera se representa una inecuación que involucra una variable y de qué manera se representa una inecuación que involucra dos variables en relación lineal.
Ejercicio 2
Representar la gráfica de la ecuación obtenida de la desigualdad dada al sustituir la desigualdad con un signo igual ()
Determinar si la solución es el semiplano por encima de la recta, o el semiplano por debajo de ella.
Falso
Elegimos un punto del plano, por ejemplo (0;0)
Procedimiento para graficar desigualdades lineales
1
Utilizar una línea discontinua (de puntos) si implica una desigualdad estricta (> o <). De lo contrario utilizar una línea continua para indicar que la recta forma parte de la solución.
2
Si la desigualdad se cumple, la gráfica de la solución es la mitad del plano que contiene al punto de prueba. De lo contrario, la solución es el semiplano que NO contiene al punto.
3
10
Sistema de inecuaciones lineales
Un sistema de INECUACIONES de dos variables es un conjunto de inecuaciones de dos variables que actúan a la vez.
Geométricamente, es la REGIÓN común para todas las regiones determinadas por las desigualdades dadas.
⇒ es la intersección de los conjuntos solución de cada desigualdad del sistema.
La SOLUCIÓN de un sistema de desigualdades 
consiste en todos los puntos cuyas coordenadas 
satisfacen de manera SIMULTÁNEA todas las desigualdades dadas.
11
¿Cuáles son los pares de valores que verifican simultáneamente las siguientes condiciones?
Ejercicio 3
Ejercicio 3
1
2
3
1
Otra forma:
Solución del sistema
12
¿Cuáles son los pares de valores que verifican simultáneamente las siguientes condiciones?
Ejercicio 3
Ejercicio 3 – Otra forma
1
2
3
1
Pintar la zonaque NO es solución
Solución del sistema
13
Sombrear la zona que no verifican las siguientes desigualdades, así, el conjunto solución es el espacio no sombreado.
Ejercicio 4
a
14
Sombrear la zona que no verifican las siguientes desigualdades, así, el conjunto solución es el espacio no sombreado.
Ejercicio 4
b
15
Sombrear la zona que no verifican las siguientes desigualdades, así, el conjunto solución es el espacio no sombreado.
Ejercicio 4
c
 
Solución del sistema
16
Sombrear la zona que no verifican las siguientes desigualdades, así, el conjunto solución es el espacio no sombreado.
Ejercicio 4
d
Solución del sistema
17
Sistema de inecuaciones lineales acotado y no acotado
Cuando una región del plano puede ser cubierta por un círculo 
(suficientemente grande)
Región limitada o acotada
Cuando una región del plano NO puede ser cubierta por un círculo
Región ilimitada o NO acotada
Programación lineal
Herramienta más importante de la INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Conjunto de herramientas 
de las que dispone la matemática para la toma de decisiones.
Técnica matemática 
para hallar la mejor asignación 
de los recursos limitados de una empresa (optimizar) 
a actividades que compiten entre sí por ellos.
Ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental:
19
Definir el problema
Analizar el problema
Evaluar alternativas
Elegir alternativas
Aplicar la decisión
PROGRAMACIÓN LINEAL
Modelo matemático
Satisfacer metas a través de la descripción de un problema
Asignación eficiente de recursos
Se representa mediante un
Se destina a
Tiene como fin
La programación lineal es una técnica de modelado cuyo objetivo es la asignación eficiente de recursos. Es decir, satisfacer metas a través de la descripción de un problema.
 Se utiliza para determinar la asignación óptima de recursos en finanzas, marketing, logística, asignación de recursos, producción, etc.
20
Aplicaciones Programación Lineal
Finanzas
Marketing
Producción
Logística
Asignación de tareas
Mezclas
Otras decisiones
Programación lineal
Técnica matemática 
para hallar la mejor asignación 
de los recursos limitados de una empresa (optimizar) 
a actividades que compiten entre sí por ellos.
La función a MAXIMIZAR o MINIMIZAR se llama FUNCIÓN OBJETIVO
Sujeta a 
RESTRICCIONES
Representadas por 
un sistema de desigualdades lineales 
o ecuaciones lineales
META: encontrar una que sea una SOLUCIÓN ÓPTIMA (le de el máximo o mínimo valor a la función objetivo.
Situación que involucra todas estas condiciones
Problema de Programación Lineal
La PL es una técnica muy potente que se utiliza para construir modelo de optimización de funciones, que pueden aplicarse a cualquier rama de las ciencias económicas.
En cada problema de PL se deben tomar decisiones de maximización o minimización de objetivos representados por funciones lineales, las cuales están sujetas a determinadas condiciones llamadas restricciones que se representan a través de ecuaciones y/o desigualdades lineales.
Nosotros estudiaremos un método para resolver estos problemas: el gráfico.
Existe también un método analítico, llamado simplex, que se utiliza para resolver problemas con cualquier número de variables.
21
Programación lineal – Supuestos básicos
La búsqueda de una solución óptima mediante el uso de la PL, implica la preparación de un modelo. 
La elaboración del modelo matemático tiene limitaciones de naturaleza técnica y su formulación está basada en las siguientes hipótesis fundamentales:
Los datos son ciertos.
Surgen de la realidad de la situación planteada
Las variables pueden tomar cualquier valor (enteros o fraccionarios)
Se considera la linealidad de las variables
Los efectos de las distintas variables son independientes. No hay interacción entre ellas.
22
PROGRAMACIÓN LINEAL
CERTIDUMBRE
ADITIVIDAD
PROPORCIONALIDAD
DIVISIBILIDAD
Programación lineal – Características 
En cualquier ámbito que se presente un problema de PL, tiene cuatro propiedades comunes:
1
Variables no negativas
Todas las variables que intervienen en el problema deben ser no negativas.
2
Restricciones
Se refieren a las limitaciones o condicionamientos de los recursos o factores económicos.
3
Existencia de una función lineal de las variables cuyo valor se desea optimizar
Expresión matemática de la meta a alcanzar formulada en función de las variables.
4
El problema debe presentar las distintas alternativas posibles
Las técnicas de PL han sido utilizadas en ámbitos diferentes como el militar, industrial, financiero, etc.
A pesar de tal diversidad en las aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:
23
Características de un problema de PL – Restricciones
Las condiciones que se deben cumplir son limitaciones a las diferentes alternativas que se pueden presentar, esas condiciones se denominan restricciones, y se expresan matemáticamente a través de un conjunto de inecuaciones y/o ecuaciones lineales. 
Pueden ser de dos tipos:
Restricciones estructurales: se refieren a las limitaciones o condicionamientos de los recursos o factores económicos. Cada actividad consume una cierta cantidad de recursos (capacidad de la planta, capital, mano de obra, etc.) que no se puede sobrepasar.
Restricciones de no negatividad: como se trata de funciones en economía, no tiene sentido que las variables asuman valores negativos. Este tipo de restricciones garantiza que ninguna de las variables sea negativa.
La región que satisface de manera simultánea las restricciones se denomina ZONA FACTIBLE.
Cada punto en esta región representa una solución del sistema.
Aunque existe un número infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo.
24
Características de un problema de PL – Función objetivo
Es la expresión matemática de la meta a alcanzar formulada en función de las variables de decisión. 
Debe definirse claramente y en forma matemática como una ecuación lineal. 
Se orienta a optimizar algún criterio de valor, lo que se optimiza es una función matemática que contiene los resultados. 
Puede resolver dos tipos de problemas:
Maximizar un determinado criterio de valor (margen bruto total, producción total, ingreso total, beneficios, etc.)
Minimizar un criterio de valor (costo total, uso de un recurso, etc.) 
25
Características de un problema de PL – Alternativas posibles
Determinadas por los puntos que cumplen todas y cada una de las restricciones.
Están en una porción del plano llamada REGIÓN o ZONA FACTIBLE.
Los puntos que cumplen todas las restricciones a la vez son SOLUCIONES FACTIBLES.
26
Programación lineal – Solución por el método gráfico
En cumplimiento de las restricciones de no negatividad, 
se trabaja en el I cuadrante, 
donde las dos variables son mayores o iguales a cero. 
27
Programación lineal – Solución por el método gráfico
Para resolver problemas que presentan sólo dos variables de decisión. 
1
Representar las ecuaciones o inecuaciones que representan las restricciones en un sistema de coordenadas .
2
Las mismas determinarán un recinto convexo cerrado (poligonal) o abierto llamado zona factible (cumple todas las restricciones simultáneamente)
3
Dicha zona incluye los puntos de frontera: los vértices del recinto que queda determinado.
4
Todos los puntos de la zona o región factible son soluciones factibles.
5
Encontrar UNA de esas soluciones que maximice o minimice la función objetivo.
Se trata de buscar un miembro de la familia que tenga un punto factible, y en el ejemplo del gráfico, cuyo valor de la función objetivo sea máximo. Deberá tener al menos un punto en común con la región factible.
Cualquier recta de isoutilidad con una utilidad mayor no contendrá puntos en común con la región factible.
28
Programación lineal – Solución por el métodográfico
6
Ya que la función objetivo tiene la siguiente forma:
Define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente y ordenada al origen 
Para distintos valores de obtendremos distintas rectas, todas paralelas entre sí.
Cada una de estas rectas representan cada una de las combinaciones de y de con las que se obtiene el mismo valor de la función objetivo.
Se denominan rectas de ISOUTILIDAD.
Lineas de isoutilidad
Tienen un número infinito 
de puntos en común 
con la región factible
No tiene puntos en común 
con la región factible
Buscamos un miembro de la familia que tenga UN punto factible y que el valor de sea máximo (o mínimo)
Una función lineal definida sobre una región factible no vacía, tiene un valor máximo o mínimo que puede hallarse en un vértice (punto extremo, esquina).
Esto nos da una forma de encontrar una solución óptima sin necesidad de representar las rectas de isoutilidad. Basta con evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después seleccionar un vértice en que la función sea óptima.
29
Programación lineal – Solución por el método gráfico
La función objetivo (lineal) definida sobre una región factible tiene un valor máximo o mínimo en un VÉRTICE (punto extremo, esquina)
⇒No es necesario representar todas 
las rectas de isoutilidad
Basta con evaluar la función 
en cada uno de los vértices de la región factible y luego seleccionar aquél en el que la función sea óptima.
7
Se representa la función objetivo en el punto óptimo.
La solución factible que haga óptima (máxima o mínima) la función objetivo, se llama solución óptima.
30
Ejercicio 5 - a
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Maximizar:
F.O.: 6x+3y Sujeto a 
i) Determinar gráficamente la zona factible
1
2
3
1
2
ZONA 
FACTIBLE
31
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Maximizar:
F.O.: 6x+3y Sujeto a 
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extemos de la zona factible.
intersección de las rectas y
1
2
3
1
2
ZONA 
FACTIBLE
Si un problema de programación lineal tiene una solución, entonces esta debe aparecer en un vértice, o esquina, del conjunto factible S asociado con el problema.
Ejercicio 5 - a
32
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Maximizar:
F.O.: 6x+3y Sujeto a 
iii) Calcular la función objetivo en el punto óptimo
Maximiza
ZONA 
FACTIBLE
Ejercicio 5 - a
33
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Maximizar:
F.O.: 6x+3y Sujeto a 
iv) Trazar la función objetivo en el punto óptimo
Función objetivo
Valor máximo
ZONA 
FACTIBLE
Ejercicio 5 - a
34
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Minimizar:
F.O.: 3x+2y Sujeto a 
i) Determinar gráficamente la zona factible
1
2
3
1
 
2
 
3
ZONA 
FACTIBLE
Ejercicio 5 - b
35
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Minimizar:
F.O.: 3x+2y Sujeto a 
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extemos de la zona factible.
intersección de las rectas y
1
2
3
1
2
ZONA 
FACTIBLE
Ejercicio 5 - b
36
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Minimizar:
F.O.: 3x+2y Sujeto a 
iii) Calcular la función objetivo en el punto óptimo
Punto que minimiza
ZONA 
FACTIBLE
Ejercicio 5 - b
37
Dados los siguientes modelos de programación lineal:
Minimizar:
F F.O.: 3x+2y Sujeto a 
iv) Trazar la función objetivo en el punto óptimo
Función objetivo
Valor mínimo
ZONA 
FACTIBLE
Ejercicio 5 - b
38
Ejercicio 6
Un fabricante de calculadoras produce dos modelos: estándar y científica. 
La demanda a largo plazo para los dos modelos recomienda que la compañía fabrique al menos 100 calculadoras estándar y 80 científicas al día. 
No obstante, debido a limitaciones en la capacidad de producción, no pueden manufacturarse más de 200 calculadoras estándar y 170 científicas al día.
Para satisfacer el contrato firmado, se debe enviar un total de al menos 200 calculadoras por día.
 Si el costo de producción es de U$S 5 por una calculadora estándar y U$S7 por una científica, 
¿cuántas de cada modelo se deben producir al día para minimizar este costo? 
x→ cantidad de calculadoras modelo estándar
y→ cantidad de calculadoras modelo científicas
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
39
Ejercicio 6
x→ cantidad de calculadoras modelo estándar
y→ cantidad de calculadoras modelo científicas
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
1
2
3
i) Graficamos la zona factible:
1
2
3
 
Zona factible
40
Ejercicio 6
x → cantidad de calculadoras modelo estándar
y → cantidad de calculadoras modelo científicas
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
1
2
3
 
Zona factible
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extemos de la zona factible.
41
Ejercicio 6
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
1
2
3
Zona factible
iii) Calcular la función objetivo en el punto óptimo
x → cantidad de calculadoras modelo estándar
y → cantidad de calculadoras modelo científicas
Mínimo
Se deben producir 5 calculadoras estándar y 7 científicas para minimizar costos.
42
Ejercicio 6
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
1
2
3
Zona factible
iv) Trazar la función objetivo en el punto óptimo
x → cantidad de calculadoras modelo estándar
y → cantidad de calculadoras modelo científicas
Mínimo
43
Ejercicio 7
Una pequeña fábrica de calzado hace dos estilos de zapatos: náutico y mocasín. En el proceso se utilizan dos máquinas: una cortadora y una de coser. En la tabla se proporcionan los tiempos de fabricación de los artículos. 
Si la utilidad es de en cada par de náuticos y en cada par de mocasines, ¿cuántos pares de cada tipo se deben producir al día para maximizar la utilidad?
	 	Naútico	Mocasín	Total
	Cortado	15min	15min	8hs
	Costura	10min	20min	8hs
x→ cantidad de zapatos estilo náutico a producir por día
y→ cantidad de zapatos estilo mocasín a producir por día.
Función objetivo:
Maximizar 
Restricciones:
 
 
44
Ejercicio 7
x→ cantidad de zapatos estilo náutico a producir por día
y→ cantidad de zapatos estilo mocasín a producir por día.
Función objetivo:
Maximizar 
Restricciones:
 
 
i) Graficamos la zona factible:
1
2
3
1
 
2
 
3
 
 
Zona factible
45
Ejercicio 7
x→ cantidad de zapatos estilo náutico a producir por día
y→ cantidad de zapatos estilo mocasín a producir por día.
Función objetivo:
Maximizar 
Restricciones:
 
 
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extremos de la zona factible.
1
2
3
 
Zona factible
 intersección de las rectas:
46
Ejercicio 7
x→ cantidad de zapatos estilo náutico a producir por día
y→ cantidad de zapatos estilo mocasín a producir por día.
Función objetivo:
Maximizar 
Restricciones:
 
 
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extremos de la zona factible.
1
2
3
 
Zona factible
47
Ejercicio 7
x→ cantidad de zapatos estilo náutico a producir por día
y→ cantidad de zapatos estilo mocasín a producir por día.
Función objetivo:
Maximizar 
Restricciones:
 
 
iii) Calcular la función objetivo en el punto óptimo.
1
2
3
 
Zona factible
Máximo
Se deben producir 16 pares de cada uno de los estilos para maximizar la utilidad.
48
Ejercicio 7
x→ cantidad de zapatos estilo náutico a producir por día
y→ cantidad de zapatos estilo mocasín a producir por día.
Función objetivo:
Maximizar 
Restricciones:
 
 
iv) Trazar la función objetivo en el punto óptimo
1
2
3
 
Zona factible
Máximo
49
Ejercicio 8
Una compañía petroleraque tiene dos refinerías necesita producir al menos 8000, 14000 y 5000 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. 
Cada día, la refinería I produce 2000 barriles de grado bajo, 3000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto, 
en tanto que la refinería II produce 1000 barriles de cada uno de los grados bajo y alto, y 2000 barriles de petróleo de grado medio. 
Si operar la refinería I cuesta $25.000 por día, y operar la refinería II $20.000 diarios, 
¿cuántos días debe operar cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? 
Si existe un costo mínimo, ¿cuál es? 
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
		Refinería I	Refinería II
	Bajo		
	Medio		
	Alto		
2000
3000
1000
1000
2000
1000
 
50
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
i) Graficamos la zona factible:
1
1
 
 
 
51
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
i) Graficamos la zona factible:
1
1
 
2
2
 
 
 
52
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
i) Graficamos la zona factible:
1
1
 
2
2
 
3
3
 
 
 
ZONA FACTIBLE
 
 
 
53
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
1
2
3
ZONA FACTIBLE
 
 
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extremos de la zona factible.
 
Para calcular se debe realizar 
 
 
54
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
1
2
3
ZONA FACTIBLE
 
 
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extremos de la zona factible.
 
Para calcular se debe realizar 
 
55
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
1
2
3
ZONA FACTIBLE
 
 
ii) Encontrar las coordenadas de los puntos extremos de la zona factible.
 
56
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
1
2
3
ZONA FACTIBLE
 
 
 
iii) Calcular la función objetivo en el punto óptimo.
Mínimo
La refinería I debe operar durante 4 días y la refinería II durante 1 día 
para satisfacer los requerimientos de producción 
a un costo mínimo.
El costo mínimo es de $ 120 000
57
Ejercicio 8
x→ Número de días a operar en la refinería I.
y→ Número de días a operar en la refinería II.
Función objetivo:
Minimizar 
Restricciones:
 
 
 
 
1
2
3
ZONA FACTIBLE
 
 
 
Mínimo
iv) Trazar la función objetivo en el punto óptimo
58
Bibliografía
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59