Módulo 3 - Lectura 1

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Introducción
Determinantes
Herramientas matriciales para resolver sistemas de
ecuaciones
¿Podemos anticipar si un sistema de ecuaciones tiene, o no, solución? En el caso de que tuviera, ¿podemos
saber si es única? Y si es única, ¿cuál es el método adecuado para encontrar su solución?
Una manera eficaz de escribir un sistema de ecuaciones es a través de una representación matricial.
Por ejemplo, el siguiente sistema:
Expresado en forma matricial, corresponde:
Figura 1. Representación matricial de un sistema de ecuaciones.
LECCIÓN 1 de 2
Introducción
 
Primera matriz
Matriz de coeficientes

Tercera matriz
Vector de términos independientes

Segunda matriz
Vector incógnita
Fuente: Elaboración Propia
O en notación abreviada:
A .X=B
Donde A es la matriz de coeficientes del sistema, X es el vector de incógnitas y B es el vector de términos
independientes.
En la toma de decisiones, y cuando el tiempo apremia, a veces conviene saber si un sistema tiene solución
sin necesidad de resolverlo.
Una herramienta matricial que podemos utilizar con este fin es el cálculo del determinante de una matriz. 
 Nota para el lector: utilizaremos A.X representando el producto entre matrices en vez de
AxX, para evitar confusiones entre la x del producto matricial y la X del vector de
incógnitas.

Situación problemática
Un bróker es un sujeto que se encarga de llevar adelante las transacciones comerciales entre quien compra
y quien vende, a cambio de una comisión. Además, es quien los asesora y aconseja sobre asuntos
relacionados con el negocio. Puede representar al vendedor o al comprador, pero nunca a los dos en
simultáneo. Los brókeres tienen un rol clave en la venta de acciones, bonos y otros servicios financieros. 
En una consulta sobre una posible inversión de una herencia de 12 000 dólares, por cuestiones impositivas,
un bróker nos ha sugerido que hagamos un reparto entre bonos y acciones, a pesar de que tienen la misma
rentabilidad anual del 4%.
Bajo las condiciones del bróker, y pensando que no tiene intereses personales sobre ningún tipo de
inversión, nos dice que la única opción viable es colocar   8 000 dólares en bonos y 4 000 dólares en
acciones. 
¿Será esta la única forma de invertir el capital? 
Al plantear el sistema de ecuaciones que modeliza la situación anterior, obtenemos:
LECCIÓN 2 de 2
Determinantes
Nota: La segunda ecuación representa la rentabilidad anual.
Para saber si el bróker está en lo cierto sobre si es ésta la única forma de invertir, deberíamos primero
resolver el sistema. Sin embargo, existe un concepto matemático que nos ayudará a analizar el sistema sin
necesidad de resolverlo. Interesante, ¿no?
Formalmente, el determinante de una matriz A de orden n es el número real que surge de la suma de n!
términos. Cada término se obtiene como el producto de cierto signo por n factores, donde los factores son
elementos de A, de manera tal que ellos pertenecen a filas distintas y columnas distintas y el signo será
positivo o negativo según la permutación de los segundos subíndices, sea par o impar.
Según esta definición, una matriz de orden tendría 2!= 1.2= 2 términos. Una matriz de orden 3 tendría 3! =
3.2.1= 6 términos.
Aplicación a sistemas de ecuaciones
DETERMINANTES
El determinante es un
número real asociado a
una matriz cuadrada  . Este
número se simboliza como
  |A|.
En un sistema de ecuaciones cuadrado, el determinante sirve para “determinar” si posee solución única.
El sistema será compatible determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.
Si el determinante fuese cero podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones (SCI) o no tiene
solución (SI).
DETERMINANTES DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2 –
DETERMINANTES DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3 –
Regla de Sarrus
Para determinar, de forma rápida, el determinante de una matriz de orden 3, se aplica una regla práctica
conocida como regla de Sarrus.
Se escriben los elementos de la matriz dada, y a la derecha se escriben nuevamente las primeras dos
columnas, como muestra la siguiente figura:
Figura 1: Regla de Sarrus.
Fuente: elaboración propia.
Se escriben nuevamente las primeras dos columnas. Se realiza el producto de las diagonales (en azul y en
verde) colocando los signos de acuerdo a la figura.
Para matrices de orden superior hay distintos métodos para calcular el determinante, pero escapan a los
objetivos del curso. En cambio, usaremos una compilación de propiedades.
El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original
A. En símbolos, |AT |=|A|
Si se multiplica a todos los elementos de una línea cualquiera (fila o columna) de una
matriz A por una constante α, el determinante de dicha matriz queda multiplicado por
α.
Si se multiplica a todos los elementos de una matriz A de orden n por una misma
constante α, el determinante de dicha matriz queda multiplicado por αn. En símbolos: |
α.A|=αn.|A|
Si en una matriz A se cambian dos líneas paralelas entre sí, el determinante cambia
de signo.
El determinante de una matriz diagonal o de una matriz triangular es igual al producto
de los elementos de la diagonal principal.
El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de los
determinantes de dichas matrices. En símbolos:|A .B|=|A|.|B|
Si, en una matriz cuadrada A, a los elementos de una línea cualquiera les sumamos
los elementos de otra línea paralela, previamente multiplicada por una misma
constante o escalar α, el determinante de dicha matriz no se modifica.
El determinante de una matriz es cero sí -y sólo sí- sus líneas paralelas (filas o
columnas) constituyen un conjunto de vectores L. D.
Ahora, retomando la situación problemática inicial, si al sistema obtenido:
lo expresamos en forma matricial,
) y j
Observamos que la matriz de coeficientes tiene determinante igual a cero, es decir no tiene una única
solución. Por lo tanto, la inversión sugerida por el bróker no es la única posible.
Dada la siguiente matriz: 
No se puede calcular el determinante de la matriz A porque
no es cuadrada.
0
4
-1
5
SUBMIT
SUBMIT
Si se multiplican a todos los elementos de una línea cualquiera (fila o columna)
de una matriz A por una constante α, el determinante no se modifica.
¿Cuál de las siguientes operaciones preserva el valor del determinante?
Es verdadero porque, por propiedades de determinantes, si
  se multiplica a todos los elementos de una línea
cualquiera (fila o columna) de una matriz A por una
constante α, el determinante de dicha matriz no se
modifica.
Es falso porque por propiedades de determinantes, si   se
multiplican a todos los elementos de una línea cualquiera
(fila o columna) de una matriz A por una constante α, el
determinante de dicha matriz queda multiplicado por α.
SUBMIT
¿Cuál debe ser el valor de k para que el determinante de la siguiente matriz sea
cero?
Multiplicar a una fila por una constante no nula.
Multiplicar a una fila por cero.
Sumar a una fila otra fila.
Sumar a una fila una constante no nula.
Intercambio de filas.
SUBMIT
El determinante de la matriz
No existe ningún valor posible de k para que el
determinante de A sea igual a cero.
k=2
k=0
k=-2
67
0
SUBMIT
SUBMIT
El determinante de la siguiente matriz
No se puede calcular el determinante
2
Es verdadero, porque es una matriz triangular y el
determinante se calcula multiplicando la diagonal.
Es falso,   porque no es una matriz triangular y el
determinante es -10