TP3 Derivación de Funciones Complejas [8-14]

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TP3 Derivación de Funciones Complejas [8-14] 
8 Probar que 𝑒𝑧 es entera y hallar 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑒𝑧). 
 𝑒𝑧 es entera significa que 𝑒𝑧 es derivable en ℂ. Usaremos la condición 
suficiente de derivabilidad en un conjunto. 
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑠𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 
 Calculamos sus derivadas parciales 
𝜕𝑒𝑧
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑒𝑧 
𝜕𝑒𝑧
𝜕𝑦
= −𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑖𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑖(𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦) = 𝑖𝑒𝑧 
 Como 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑒𝑧) y 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑒𝑧) son continuas en ℂ, entonces 𝑒𝑧 es de clase ∁1 
en ℂ. 
 Comprobamos que 𝑒𝑧 satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en ℂ. 
𝜕𝑒𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑒𝑧
𝜕𝑦
= 𝑒𝑧 + 𝑖(𝑖𝑒𝑧) = 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Luego, por la condición suficiente de derivabilidad en un conjunto, 𝑒𝑧 es 
derivable en ℂ, i.e., 𝑒𝑧 es entera. 
 Podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para la derivada compleja 
𝑑𝑒𝑧
𝑑𝑧
=
𝜕𝑒𝑧
𝜕𝑥
= 𝑒𝑧 
9 Probar que 𝑐𝑜𝑠 𝑧 y 𝑠𝑖𝑛 𝑧 son enteras y demostrar las fórmulas de 
derivación 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑐𝑜𝑠𝑧) = −𝑠𝑖𝑛𝑧, 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑠𝑖𝑛𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧 
 Probaremos que 𝑐𝑜𝑠𝑧 es entera. 
 Usaremos las fórmulas del ejercicio 19 en el TP2 
𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 
𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 
 Calculamos las derivadas parciales de 𝑐𝑜𝑠𝑧. 
𝜕𝑐𝑜𝑠𝑧
𝜕𝑥
= −𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 − 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 = −𝑠𝑖𝑛𝑧 
𝜕𝑐𝑜𝑠𝑧
𝜕𝑦
= 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 = (−𝑖)(𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦)
= −𝑖𝑠𝑖𝑛𝑧 
 Como 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑧) y 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑐𝑜𝑠𝑧) son continuas en ℂ, entonces 𝑐𝑜𝑠𝑧 es de 
clase ∁1 en ℂ. 
 Probamos que 𝑐𝑜𝑠𝑧 satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en ℂ. 
𝜕𝑐𝑜𝑠𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑐𝑜𝑠𝑧
𝜕𝑦
= −𝑠𝑖𝑛𝑧 + 𝑖(−𝑖𝑠𝑖𝑛𝑧) = 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Luego, por la cond. suficiente. de derivabilidad en un conjunto, 𝑐𝑜𝑠𝑧 
es derivable en ℂ, i.e., 𝑐𝑜𝑠𝑧 es entera. 
 Usando una fórmula para la derivada compleja 
𝑑𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑑𝑧
=
𝜕𝑐𝑜𝑠𝑧
𝜕𝑥
= −𝑠𝑖𝑛𝑧 
10 Probar que 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑧 y 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑧 son enteras y demostrar las fórmulas de 
derivación 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧) = 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧, 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧) = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 
 Probaremos que 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 es entera. 
 Usaremos las fórmulas del ejercicio 20 en el TP2 
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 
𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧 = 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 
 Calculamos las derivadas parciales de 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧. 
𝜕𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧
𝜕𝑥
= 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧 
𝜕𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧
𝜕𝑦
= −𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑖𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧 
 Como 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧) y 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧) son continuas en ℂ, entonces 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 es 
de clase ∁1 en ℂ. 
 Probamos que 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en ℂ. 
𝜕𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧
𝜕𝑦
= 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧 + 𝑖(𝑖𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧) = 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Luego, por la cond. suficiente de derivabilidad en un conjunto, 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 
es derivable en ℂ, i.e., 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 es entera. 
 Usamos una fórmula para la derivada compleja 
𝑑𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧
𝑑𝑧
=
𝜕𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧
𝜕𝑥
= 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧 
11 Sean 𝑓: ℂ → ℂ y 𝑔: ℂ → ℂ definidas por 
𝑓(𝑧) = 𝑥³ + 3𝑥𝑦² − 2𝑥 + 𝑖(𝑦³ + 3𝑥²𝑦 − 2𝑦), 𝑔(𝑧) = 𝑥² − 𝑦² − 𝑖2𝑥𝑦 
 Hallar los conjuntos de derivabilidad de ambas funciones. 
 Hallaremos el conjunto de derivabilidad de 𝑓(𝑧). 
 Calculamos las derivadas parciales de 𝑓(𝑧). 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) = 3𝑥2 + 3𝑦2 − 2 + 𝑖6𝑥𝑦 
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) = 6𝑥𝑦 + 𝑖(3𝑦2 + 3𝑥2 − 2) 
 Como 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) y 
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) son continuas en ℂ, 𝑓(𝑧) es de clase ∁1 en ℂ. 
 De acuerdo con la cond. suf. de derivabilidad en un conjunto, 𝑓(𝑧) será 
derivable en algún conjunto 𝒟 ⊆ ℂ donde 𝑓(𝑧) satisfaga la ecuación de 
Cauchy-Riemann en 𝒟 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) = 0, ∀𝑧 ∈ 𝒟 
 ⇔ 3𝑥2 + 3𝑦2 − 2 + 𝑖6𝑥𝑦 + 𝑖(6𝑥𝑦 + 𝑖(3𝑦2 + 3𝑥2 − 2)) = 0 
 ⇔ 3𝑥2 + 3𝑦2 − 2 + 𝑖6𝑥𝑦 + 𝑖6𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 3𝑥2 + 2 = 0 
 Entonces 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) = 0 ⇔ 𝑖12𝑥𝑦 = 0 ⇔ 𝑥𝑦 = 0 
 Luego, el conjunto de derivabilidad de 𝑓(𝑧) es 𝒟 = {𝑧 ∈ ℂ 𝑥𝑦 = 0⁄ }. 
 Como 𝑥𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 o 𝑦 = 0 ⇔ 𝑧 ∈ ℂ𝐼 o 𝑧 ∈ ℂ𝑅, se tiene que 
𝒟 = ℂ𝑅 ∪ ℂ𝐼 
 Por lo tanto, 𝑓(𝑧) sólo es derivable sobre los ejes: “real e imaginario”. 
 Por curiosidad, calculamos 𝑓′(𝑧) en algunos puntos de 𝒟. 
𝑓′(0) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧)|
𝑧=0
= (3𝑥2 + 3𝑦2 − 2 + 𝑖6𝑥𝑦)|𝑧=0 = −2 
𝑓′(1) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧)|
𝑧=1
= (3𝑥2 + 3𝑦2 − 2 + 𝑖6𝑥𝑦)|𝑧=1 = 1 
𝑓′(𝑖) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧)|
𝑧=𝑖
= (3𝑥2 + 3𝑦2 − 2 + 𝑖6𝑥𝑦)|𝑧=𝑖 = 1 
𝑓′(2𝑖) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧)|
𝑧=2𝑖
= (3𝑥2 + 3𝑦2 − 2 + 𝑖6𝑥𝑦)|𝑧=2𝑖 = 10 
12 Probar que las funciones 
𝑓(𝑧) = (𝑧̅)2, 𝑔(𝑧) =
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
+ 𝑖
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 
no son holomorfas en ningún punto del plano complejo. 
 Probaremos que 𝑔(𝑧) no es derivable en ningún punto del plano 
complejo. 
 Las derivadas parciales de 𝑔(𝑧) están definidas en ℂ − {0}. 
𝜕
𝜕𝑥
𝑔(𝑧) =
𝑦2 − 𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)2
− 𝑖
2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2
= −
𝑧2
|𝑧|4
 
𝜕
𝜕𝑦
𝑔(𝑧) =
−2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2
+ 𝑖
𝑥2 − 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
= 𝑖
𝑧2
|𝑧|4
 
 Pero 
𝜕
𝜕𝑥
𝑔(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑔(𝑧) = −
𝑧2
|𝑧|4
+ 𝑖 (𝑖
𝑧2
|𝑧|4
) = −
2𝑧2
|𝑧|4
≠ 0, ∀𝑧 ∈ ℂ − {0} 
 Es decir, 𝑔(𝑧) no satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en ningún 
punto de ℂ − {0}. 
 Luego, por el criterio de no-derivabilidad en un conjunto, 𝑔(𝑧) no es 
derivable en ningún punto de ℂ − {0}. Por otro lado, 𝑔(𝑧) no es derivable 
en 𝑧 = 0 porque 𝑔(𝑧) no está definida en 𝑧 = 0. Por lo tanto, 𝑔(𝑧) no es 
derivable en ningún punto de ℂ. 
13 Probar que 𝑒𝑧
2
es entera y hallar 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑒𝑧
2
). 
 La función 𝑒𝑧
2
 es la composición de la función 𝑧2 con la exponencial de 
Euler. Ambas funciones son derivables en ℂ. 
 Como la composición de funciones derivables es una función derivable, 
se tiene que 𝑒𝑧
2
es derivable en ℂ, i.e., 𝑒𝑧
2
 es entera. 
 Podemos calcular 
𝑑
𝑑𝑧
(𝑒𝑧
2
) usando la regla de la cadena. 
𝑑𝑒𝑧
2
𝑑𝑧
=
𝑑𝑒𝑤
𝑑𝑤
|
𝑤=𝑧2
𝑑𝑧2
𝑑𝑧
= 𝑒𝑤|𝑤=𝑧2 2𝑧 = 𝑒
𝑧22𝑧 
14 Probar que 𝑒𝑅𝑒(𝑧) y 𝑒𝐼𝑚(𝑧) no son holomorfas en ningún punto del 
plano complejo. 
 Probaremos que 𝑒𝑅𝑒(𝑧) no es derivable en ningún punto de ℂ. 
 Las derivadas parciales de 𝑒𝑅𝑒(𝑧) están definidas en ℂ. 
𝜕
𝜕𝑥
𝑒𝑅𝑒(𝑧) = 𝑒𝑥 , 
𝜕
𝜕𝑦
𝑒𝑅𝑒(𝑧) = 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Pero 
𝜕
𝜕𝑥
𝑒𝑅𝑒(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑒𝑅𝑒(𝑧) = 𝑒𝑥 + 𝑖0 ≠ 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Es decir, 𝑒𝑅𝑒(𝑧) no satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en ningún 
punto de ℂ. 
 Luego, por el criterio de no-derivabilidad en un conjunto, 𝑒𝑅𝑒(𝑧) no es 
derivable en ningún punto de ℂ.